Een landmeetkundige puzzel
Onlangs kwam mij een aardige landmeetkun
dige puzzel onder ogen, die ik hierbij wil
voorleggen.
De oude Romeinen waren gewend hun kaarten
en dus ook hun landmeetkundige metingen te
oriënteren op het oosten. Dit is de herkomst van
het woord 'oriënteren'. In die tijd had men geen
theodolieten om een zonsazimut te meten, en
ook het gebruik van goniometrische funkties
om een zonsazimut te berekenen kende men
niet. Daarentegen waren de Romeinen er zeer
bedreven in om met eenvoudige middelen
vernuftige meetkundige constructies te
bedenken. Hieronder volgt een methode om de
oost-westlijn in het terrein uit te zetten zonder
gebruik te maken van een theodoliet.
Deze methode is erg eenvoudig en toch
redelijk nauwkeurig en het is daarom opmerke
lijk dat deze methode uit de landmeetkundige
boeken is verdwenen. Ook nu kan het nog wel
eens handig zijn om zonder theodoliet en
zonder ingewikkelde berekening de oost-west-
richting te kunnen uitzetten.
Hoewel de constructie in het terrein eenvoudig
is, is het bewijs van onderstaande meetopzet
niet zo doorzichtig. Dit is een leuke opgave om
te testen of de moderne landmeters nog even
veel meetkundig inzicht hebben als de oude
Romeinen.
Opgave
Op drie willekeurige tijdstippen op een dag
werd de schaduw van een toren PQ gemeten
(zie figuur). Dit leverde de ligging van de
punten A, B en C. PA is de langste schaduw
's morgens, PQ de kortste rond het middaguur
en PC in de namiddag.
De afstanden QA, QB en QC werden berekend
met de stelling van Pythagoras. De afstand QB
werd afgepast langs de lijnen QA en QC. Dit
gaf de punten D en E. De projekties op de
straat gaf F en G. De ligging van F en G is
eenvoudig te berekenen met
PF QB PA en PG QB PC
QA QC
Vervolgens bepaalde men het snijpunt H van
de lijnen AC en FG. Nu is te bewijzen dat de
lijn BH precies naar het oosten loopt. Daar de
Romeinen niet het gebruik van goniometrische
functies kenden bestaat er een meetkundig
bewijs.
Oplossing landmeetkundige puzzel
Beschouw de drie vlakken ACFG, ACDE en
FGDE. Drie vlakken gaan altijd door één punt,
dus ook de drie snijlijnen.
H is het snijpunt van AC en FG. H moet dus
ook op de lijn DE liggen.
De punten B, E en D liggen op een bol met
middelpunt Q. Tevens liggen deze punten op de
kegelmantel die de zonnestraal door Q
gedurende een dag beschrijft. De as van de
kegel is naar de hemelpool gericht. B, D en E
liggen dus op de snijlijn van bol en kegel. Dit
is een cirkel loodrecht op de poolas, dus
evenwijdig aan het equatorvlak. Als DE in het
equatorvlak ligt, moet H ook in het equator
vlak liggen.
B en H liggen dus beide in het equatorvlak en
in het horizontale vlak. BH is dus de snijlijn
van beide vlakken. Per definitie is de oost-
westlijn ook de snijlijn van horizon en equator.
Dus BH is naar het oosten gericht.
Literatuur
H.C. Pouls, De Landmeter van de Romeinse tot
de Franse tijd, Alphen a/d Rijn 1997, p. 23-25
ir. G.L. Strang van Hees
57
