op een opgelegd stuk doorzichtig papier, ter
bescherming van de kaart). De voorgaande
afbeelding van de MP--cirkels kan als volgt
worden geconstrueerd met passer en graden
boog.
De lijnen AB en BC worden getrokken door
de oriëntatiepunten A, B en C. Daarna wordt
met een gradenboog vanuit A een hoek 90° - w
uitgezet ten opzichte van AB, en evenzo vanuit
B een hoek 90° - w ten opzichte van BA.
Deze twee lijnen kruisen elkaar in het
middelpunt M van de omgeschreven cirkel
van driehoek OAB, en deze cirkel kan nu met
de passer getekend worden.
Ter controle kan de middelloodlijn van AB
worden geconstrueerd door met een passer
vanuit A en B elkaar kruisende cirkelboogjes
te trekken: de middelloodlijn LM door deze
kruispunten moet M ook snijden, omdat de
rechthoekige driehoeken AML en BML
gelijkvormig zijn, met gelijke zijden en
hoeken.
Op dezelfde wijze wordt de omgeschreven
cirkel van driehoek OBC geconstrueerd. Eén
van de twee snijpunten (uiteraard niet B) van
beide cirkels geeft de gevraagde positie O van
de waarnemer.
In vroeger tijden, toen nog geen gradenbogen
bestonden, konden de hoeken van 90° - w
ofwel met parallellinialen vanuit een kompas-
roos-graadverdeling worden verschoven, ofwel
met behulp van een koordenschaal ("Chords")
op Gunter liniaal of pleinschaal worden
geconstrueerd.
Dit waren grafische methoden waarbij niet
numeriek gerekend werd.
Rekenmethode: in de rechthoekige driehoek
ALM kunnen de lengtes van de onbekende
zijden AM en LM berekend worden uit de
zijde AL 14 AB en de tophoek co:
AM en LM
sm(oo) tan(oo)
Als een van deze zijden berekend wordt, kan
het middelpunt M direct geconstrueerd worden
op de kaart, ofwel vanuit A door kruisen van
straal AM vanuit A met straal BM vanuit B,
ofwel vanuit L door afzetten van LM op de
middelloodlijn.
De berekening kan vandaag den dag op een
calculator uitgevoerd worden, of logaritmisch
op een rekenliniaal (lang geleden), of op een
Gunterschaal (heel lang geleden). Behalve
de twee hoekwaarden is hierbij ook een
numerieke lengte-eenheid nodig: het meest
logisch is om hiervoor de kaartschaal te
gebruiken, dat wil zeggen dat met de passer de
afstand AL 14 AB op de kaartschaal in
zeemijlen of minuten wordt afgelezen voor de
berekening.
Proportionaalpasser: het is frappant dat nog
langer geleden, vóór de 17e eeuw, dit probleem
al was op te lossen, zonder plaatspasser, zonder
gradenboog en zonder numerieke berekeningen.
Hiervoor kon de klassieke proportionaalpasser
(met een gewone kaartpasser en liniaal) worden
gebruikt, mits hij was voorzien van
respectievelijk een sin- of een tan-schaal.
Het recept is simpel: om het middelpunt M
te construeren met behulp van de lengte van
LM, wordt eerst weer op AB de middelloodlijn
door L geconstrueerd; daarna wordt de afstand
AL 14 AB tussen de kaartpasser-punten
genomen, en de proportionaalpasser wordt zo
tan(©=30°) tan(45")
AL T Tl f AL
6. Berekening met de proportionaalpasser
