opgaven met landmeetkundige inslag
Opgave 13
Het blijkt dat verscheidene lezers van dit
maandblad hun krachten op dit vraagstuk
hebben beproefd. Ruim vijftien ervan hebben
hun goede oplossing ingezonden, de
meesten volgens de gebruikelijke methode;
maar er zijn er ook, die, na het geijkte begin,
hun heil hebben gezocht in het berekenen van
een of twee snelliuspunten volgens de me
thode van Cassini, terwijl nog twee oplossin
gen via een benaderingsmethode zijn binnen
gekomen.
Nu de oplossing. Als we trachten een meet
kundige constructie te vinden, komen we al
spoedig op het idee de omgeschreven cirkels
van de driehoeken ABP en CDQ te con
strueren. En waarom zouden we dan niet de
rechte PQ verlengen tot zij de cirkels nog eens
snijdt? Laten we deze snijpunten P' en Q'
noemen. Kunnen we van deze punten iets
naders aan de weet komen?
sing van de basishoekenmethode niet nodig
is. De coördinaten van Q' volgen hierna op
dezelfde wijze, waarna P'Q' PQ) kan
worden bepaald. De argumenten AP, BP, CQ
en DQ zijn nu eenvoudig af te leiden. De
coördinaten van P en Q berekenen we ver
volgens uit snijpuntberekening van P'Q' met
AP en DQ (ook snijding van AP en BP en
van CQ en DQ komt in aanmerking).
Controle op onze berekeningen verkrijgen we
in het eerste geval door berekening van de
argumenten BP en CQ uit de coördinaat-
verschillen. Deze moeten overeenstemmen
met de eerder afgeleide waarden. Op de
tweede manier dienen we door lijninstellen
te controleren of de punten P'P, Q en Q'
op één rechte liggen.
Enige inzenders hebben na de berekening van
de coördinaten van Q' die van P bepaald met
snelliuspuntberekening volgens Cassini uit de
punten Q', A en B, waarna, nogmaals Cas-
Van A ABP' is 'AP'B zlAPB en
^.P'BA ZLQPA, dus P' is te construeren.
Op overeenkomstige wijze Q'.
In de taal van landmeetkundige berekeningen
overgezet, luidt dit: de coördinaten van P'
zijn te berekenen uit die van A en B met be
hulp van de basishoekenmethode. Voelt men
zich daar niet mee vertrouwd, dan kan het
ook met behulp van snijpuntberekening, maar
dan moet eerst het argument van de rechte
AB worden vastgesteld, hetgeen voor toepas-
sini toepassende, nu uitgaande van de punten
C, D en P, de coördinaten van Q verkregen
werden. In plaats van deze laatste manier
was ook snijpuntbepaling van PQ' en DQ
mogelijk. Controle respectievelijk door te on
derzoeken of Q op de rechte PQ' ligt of door
berekening uit de coördinaatverschillen van
argument CQ, terwijl in beide gevallen de
argumenten AP en BP bepaald dienen te
worden, teneinde BP—AP te kunnen verge-
92
