Opgaven met landmeetkundige inslag
1 r1
,L\
1-—-P-
222
Opgave 15
Deze opgave heeft vele lezers actief bezig
gehouden, gezien het aantal inzendingen. De
meesten hebben ongeveer op de volgende
wijze gewerkt:
c
E
G
- ^\X 1
Q/ -
F
p
Qi
Ri
B
\r2
m2\
Omdat Q gemeenschappelijk tangentpunt is
liggen Q en de middelpunten M, en Mo van
de cirkelbogen met stralen rj en r2 op een
rechte lijn. Trek uit Mrechten M,£ en
M,F evenwijdig aan M->R en AC.
M2F r2AM, sin a, waarna 7 volgt uit
cos y M2F MoMr2 AMsin a
(r2 rx).
7 13,3456 gr.
Vervolgens is AR te berekenen uit AR
AF T M,F. Na eerst nog /3 afgeleid te heb
ben uit a 7 100 gr geeft de bereke
ning van de gevraagde afstanden geen moei
lijkheden meer.
AQ, 101,70 m QQ, 34,92 m
AR129,74 m RRX 49,02 m
Vanzelfsprekend al rekenende opletten of er
eenvoudige controles toe te passen zijn.
Ook de volgende methoden zijn te volgen:
a. Breng een assenstelsel aan met A als oor
sprong en AD als x-as.
De coördinaten van R, opgebouwd uit de
veelhoek A M,M2R, zijn
XR 124126 -j— r2 r1cos /3 r2 cos 77,
yu (r2 r1sin -j- r2 sin 77.
Uit de betrekking tg a Yn:Xn is /S als
volgt op te lossen:
sin 23 108,5 sin 140,317
cos 23 108,5 cos /J 71,105
Na deling van teller en noemer door 108,5
vinden we na kruislings vermenigvuldigen de
betrekking sin (23 -j- (5) 0,978107, waaruit
volgt 63,6544 gr. De gevraagde afstan
den berekenen we vervolgens met behulp van
de veelhoek M, Q M2 R, waarna
voor controle uit YIt XR tg a de hoek
a weer te voorschijn moet komen.
b. Een aardige manier is de volgende (met
wat variatie ook door enkele inzenders toe
gepast):
Projecteer de gebroken lijn A M, M2
op M->R. Dit geeft de betrekking
r2 AM, sin a -j- (r2 r,cos y.
Hierin is y de enige onbekende, waarvoor we
weer vinden y 13,3456 gr.
De gevraagde afstanden berekenen we op
de wijze zoals onder a is aangegeven.
Goede oplossingen ontvingen we van Mej.
S. G. v. Borssum Waalkes en de heren H.
W. Bakker, J. Fokkink, W. Gehring, A. H.
A. Grootvelt, E. A. Hakman, W. v. Hekezen,
J. de Jong, P. Klaaysen, J. Molenveld, H. C.
Ploeg, H. C. Pouls, P. M. v. Rooyen, C. J.
Stada, J. Stein, A. Verhagen en T. Wagen-
veld.
c. De heer Beijers zelf zond ons nog de vol
gende oplossing:
M,Q wordt gesneden met AC, snijpunt G.
Stel nu QG x. Uit de gelijkvormigheid van
de driehoeken MXGE en M2GR volgt de be
trekking fr, -j- x) (r2 -j- x) MXE r2.
Hieruit is x op te lossen, x 3,357 m.
In A GM.2R volgt 7 uit cos 7 r2 (r2 -j-
en Pythagoras geeft ons GR. Nu nog
AG afleiden in A AGM, (sinusregel, sin
X M,GA cos 7). De berekening van de
gevraagde maten vraagt geen verdere toe
lichting.
