Opgaven met landmeetkundige inslag
42
2. Een bol rust in een rechte kegel waarvan
de as verticaal staat, terwijl zijn top naar
beneden is gekeerd. De oppervlakte van
het grondvlak van de kegel is gelijk aan
de oppervlakte van de bol. De inhoud van
de kegel is 2 J maal zo groot als de inhoud
van de bol, die 16 dm3 is. Bereken de af
stand van het middelpunt van de bol tot
de top van de kegel.
3. Op de zijde van een gelijkzijdige driehoek
als middellijn wordt een halve cirkel be
schreven. Gevraagd wordt de inhoud van
het omwentelingslichaam te bepalen, dat
men verkrijgt door het gedeelte van de
driehoek, dat buiten de halve cirkel ligt,
om de middellijn te laten wentelen. De
zijde van de driehoek is a cm lang.
Opgave 18
De inzenders hebben verschillende oplossings
methoden toegepast, zowel met behulp van de
rekenmachine als met logaritmen.
De berekening verloopt op de volgende wijze
zeer snel en geeft bovendien op eenvoudige
wijze mogelijkheid tot controle.
Fx
We maken gebruik van een plaatselijk stelsel;
A is de oorsprong en AF de x-as. De ordinaat
van F is dus eveneens nul en de abscis de te
berekenen afstand AF. De sluitterm van de
hoeken van de veelhoek ABCDEF met afsluit-
richtingen AF en FA bedraagt 42 dmgr.
Deze verdelen we gelijkmatig over de hoeken
en stellen daarna de argumenten van de zijden
vast.
We gaan ons nu allereerst met de ordinaten
bezighouden, niet van de veelhoek ABCDEF
maar van de veelhoek ABCE'F'F, die we ver
krijgen door de zijden DE en EF evenwijdig te
verplaatsen in de richting en over de afstand
DC. De zijde F'F is dan gelijk en evenwijdig
aan de onbekende zijde CD. We zoeken op sin
en cos AB, enz., waarna we in een doorgaande
bewerking YF, berekenen uit
YF, AB cos AB -j--(- EF cos EF.
zonder iets te noteren; we laten YF, in het RR
staan, maar maken OR en IB schoon. We
zetten vervolgens cos CD in het IB en draaien
hierna het RR tot circa nul. In het OR ver
schijnt hierbij de lengte van CD.
Hierna zijn de abscissen aan de beurt. We be
rekenen XF AF eveneens in een door
gaande bewerking.
Ter controle van onze berekening maken we
gebruik van de controle-ordinaten. We be
palen Yp' 7 Xp -f- Yp Xp.
Het is aanbevelenswaard cos y>' reeds tegelijk
te berekenen met sin y> en cos y>, omdat de ge
lijkheid cos y>' V 2 (sin y> cos y>) een
niet te versmaden controle op de juistheid van
de gevonden goniometrische waarden geeft, en
welke controle bovendien weinig tijd in beslag
neemt.
Voor CD vinden we 136,251 m en de ge
vraagde lengte AF bedraagt 471,510 m.
Verschillende inzenders hebben het snijpunt
S van AF en CD ingeschakeld en via drie
hoeksberekeningen AS en FS bepaald. Soms
kwam er zelfs snijpuntberekening aan te pas.
Een schijnbare vereenvoudiging van de het
eerst aangegeven methode wordt verkregen
door CD (of F'F) als x-as te kiezen. Dan is
Ys 0. Dit geeft ons de mogelijkheid uit
CB cos CB BA cos BA AS cos AS 0
snel AS te berekenen. Maar hoe controleren
we deze berekening? Wel, door Xs te bepalen
en vervolgens weer controle-ordinaten toe te
passen. Op analoge wijze is FS af te leiden.
Deze methode komt dus vrijwel overeen met
de eerste.
Goede oplossingen ontvingen we van de heren
J. W. Achterkamp, K. Bak, H. W. Bakker,
H. J. Bloemert, J. F. Cock, P, Groenewoud,
A. M. A. Grootvelt, E. A. Hakman, L. v. d.
Meer, J. Molenveld, J. G. Oldenziel, H. C.
Ploeg, Th. Postma, M. P. C. Scheepers,
J. Visser en T. Wagenveld.
