Opgaven met landmeetkundige inslag
A
112,42
180,00
B
37,58
160,00
D
46,08
45,15
E
113,14
39,88
269
Opgave 22
Deze opgave heeft de inzenders niet veel
hoofdbrekens gekost. Ze valt uiteen in twee
onderdelen: het bepalen van de uitzetgegevens
van A en B en die van D en E t.o.v. de lijn
OP; hiermee werd dus bedoeld het meetgetal
bij het voetpunt en de lengte van de loodlijnen
uit die punten op OP neergelaten, of, als we
OF en OP tot x- en y-as van een assenstelsel
maken, de coördinaten van A, B, D en E.
Het gedeelte ABC vormt een korfboog, waar
van de hoek tussen de tangenten in A en C
recht is. Dit maakt dat de gevraagde maten
bij A en B met één maal toepassen van Pytha
goras in A M\M»G al heel snel gevonden
zijn.
\Vat geleerder kunnen we het aanpakken
door de middelpuntshoek bij Mt gelijk cp te
stellen. Uit CP r1 r4 r2cos (p leiden
we af <p 33,2515, waarna we berekenen
PA r2 r1 r1sin (p,
BB' r2 r2 sin yp en
OB' ÖC r2 cos (p.
Hierna het gedeelte CDEF. Meer meetkundig
gaat het als volgt: met behulp van tweemaal
Pythagoras is de afstand DE te berekenen,
eerst M3M4 in A M3HM4 en daarna DE in
A M3KM4. Het complement van de (gelijke)
middelpuntshoeken bij M3 en M4 bepalen we
als het verschil van de hoeken OM4Ms en
KM4M3. De vaststelling van de gevraagde
maten zal nu geen moeilijkheden meer op
leveren. Ter controle berekenen we de lengte
DE uit de gevonden coördinaten.
Wat eleganter verloopt de oplossing als volgt.
We stellen DE x en projecteren de ge
broken lijn CM3DEM4F achtereenvolgens
op OP en op OF.
r3 -j- r4sin y> -(- x cos y> 95
r3 -j- r4 r3 -j- r4cos xp -f- x sin yi 1 50
of
90 sin xp -f- x cos y> 95 I cos xp I sin xp
x sin ip 90 cos xp 60 sin xp cos xp
Door deze vergelijkingen achtereenvolgens te
vermenigvuldigen met cos xp en sin xp en met
sin xp en cos xp en respectievelijk op te tellen
en af te trekken ontstaan de twee vergelij
kingen
x 95 cos xp -f- 60 sin ip
90 95 sin xp 60 cos y>
60
Uit deze laatste lossen we xp op door tg a
95
te stellen (u 35,8618), waarna we vinden
rp a— 59,1385 of y> 95,0003.
Deze wat meer goniometrisch verlopende op
lossingen zijn voor ons vraagstuk wat bewer
kelijker, dus niet de aangewezen methode:
maar als de hoeken bij O en P niet recht ge
weest waren, hadden ze ons beter tot het ge
wenste doel gebracht.
De gevraagde maten (coördinaten) luiden:
Goede oplossingen ontvingen we van de heren
H. J. Bloemert, T. P. Doorn, P. Groenewoud,
C. M. Grootendorst, H. Holsbrink. R. C. J.
Kaper, J. Oberman, O. Platje, G. J. Rinsema,
J. de Stigter, J. Streicher en T. Wagenveld.
