195
Het formaat van de cirkel is evenredig met
de straal, zodat r analytisch een parameter
van de cirkel zal zijn en voor de ontwerper
een vrijheidsgraad zal betekenen. Nadat r is
vastgesteld en de cirkel gebogen, wordt de
beoogde plaats in het platte vlak bereikt door
het bepalen van de richting, waarin de cirkel
moet worden verschoven en het aanbrengen
van de verschuivingen zelf, alles gerekend
ten opzichte van een willekeurige uitgangs
situatie.
Een complete cirkel zal dus in een x, y coör
dinatenstelsel worden vastgelegd door 3 pa
rameters, zoals in de vergelijking:
(x-xM)2 -(- (y-yM)2 r2
Fig. 4
door xM, yM en r. Het punt x, y ligt dan op de
cirkelomtrek. Een ontwerper heeft dus voor
de cirkel 3 vrijheidsgraden tot zijn beschik
king. Voor een afzonderlijke boog uit deze
cirkel heeft hij 2 extra vrijheidsgraden, voor
te stellen bv. als de booglengten L1 en L2
vanuit een willekeurig aangenomen referen
tiepunt op de cirkelomtrek.
De clotoïde. We zagen, dat een ideale over-
gangsboog tussen een rechtstand en een cir
kel met straal R, wordt opgebouwd naar een
zodanig krommingsverloop dat de kromming
op het raakpunt met de rechtstand 0 be
draagt en evenredig met de booglengte vanaf
dit punt oploopt tot op het raakpunt met
Ri
de cirkelboog.
Deze overgangsboog zal dus een gedeelte
zijn van de wiskundige kromme, waarvan
de krommingswet is te formuleren als:
L C 1 of: LR C (constant)
Schrijft men C als kwadraat van A, dan ont
staat de formule van de clotoïde:
LR A2
Deze analytische formule is bijzonder een
voudig maar heeft geen betrekking op de lig
ging in een x, y coördinatenstelsel. A is een
constante, L en R zijn variabelen voor de tot
de clotoïde behorende punten, L is de boog
lengte vanaf het punt, waar de kromming 0
is, R is de kromtestraal voor het punt, ge
legen op boogafstand L. De formule geeft
weer de habitus van de kromme, zoals de uit
drukking R C (constant) een cirkel voor
stelt en R oo een rechte.
Uit de formule LR A2 blijkt, dat voor L
0, R cx> en voor R 0 is L cnj.
Een volledige clotoïde is dus lang en heeft
een positieve en een negatieve tak, gerekend
vanaf het punt L 0; voor een figuur wordt
verwezen naar het Leerboek der Landmeet
kunde van Prof. Schermerhorn en Ir. van
Steenis (f) vierde druk blz. 487. Er zullen
verschillende clotoïdes ontstaan, wanneer A
wordt gevarieerd. In figuur 5 gaat de recht
stand r in het punt O over in een deel van
een clotoïde die in het punt P overgaat in de
cirkel C. Voor het gedeelte clotoïde OP is in
O de kromtestraal ess, in P de kromtestraal
R1 gelijk aan de straal van de aansluitende
cirkelboog met middelpunt M. De krom
mingsvergelijking van de toegepaste clotoïde
is: LR L1R1 A-l2.
Vergroten we deze figuur 2 x, dan ontstaat
de rechter figuratie, waarin dus alle afstan
den zijn verdubbeld: de boogafstand OP' is
nu 2L1, de kromtestraal R' is 2 Px. Dit be
tekent dat P' een punt is van een clotoïde
met krommingsvergelijking:
LR 2 Lv2 R, 4 L,Rl (2A,)2 AA.
Uiteraard geldt dit voor ieder punt der oor
spronkelijke clotoïde, zodat deze 2 x vergroot
wordt door A2 2A1 te stellen.
De betekenis van de constante A is derhalve
die van een vergrotingsfactor ten opzichte
van de clotoïde LR 1A bepaalt het for
maat van de clotoïde en is dus daarvan een
parameter.
Tevens blijkt dat alle clotoïden gelijkvormig
zijn.
Bij vaststelling van A is dan ook in principe
een rechte metaaldraad in de bijbehorende
