2b. De vergelijking van de poollijn q van Q
(-V yq) luidt: x„x 4yqy 16: die van
OQ luidt: u ^x.
Omdat uit de vergelijking van t volgt:
xq 2yq 4 kan men voor de verge
lijking van q schrijven: (2yt/ 4)x
4y^y 16 en voor die van OQ yqx
(2y„ 4)y °-
Uit de vergelijking van q volgt: (2x
8 -f- 2x
*y)y<i 16 4*. dus: y, x 2
Dit gesubstitueerd in de vergelijking van
OQ geeft als vergelijking van de ge
vraagde verzameling:
8x -f- 2x2 16 -j- 4x 4 x &y
x -f 2y x 2y
of 8x -f- 2x2 16y -f- 8y2 0
of x2 -f- 4y2 -j- 4x 8y 0
(x -|- 2)2 4 4(y l)2 4 0
(x 2)2 4(y 1)2 8
(x 2)2 (y-1)2
8 2
Dit is de vergelijking van een ellips met
a 2 V2 en b V2. De coördinaten
van het middelpunt zijn x 2, y
-f- 1. Omdat de bekende term in de op
nul herleide vergelijking ontbreekt, gaat
de ellips door de oorsprong.
Zie voor de schets bijgaande figuur. Aan
de vraag kon worden voldaan door alleen
de X- en Y-assen en de gevraagde ver
zameling te schetsen.
Opmerking
Beschouwt men alleen de poollijnen van
de buiten de gegeven ellips gelegen pun
ten Q, dan bestaat de gevraagde verza
meling alleen uit het gedeelte DOE van
de gevonden ellips, wat men ziet als men,
bij verplaatsing van Q langs t, let op de
snijpunten van OQ met de gevonden
ellips.
3. Uit de vergelijking van de verzameling
volgen voor twee der stralen de verge
lijkingen:
cx -f- x 2 0 en c"x -f- 2y 0,
waaruit volgen de coördinaten van het
centrum:
(c 1 )x 2, x y—;
c -f 1
Door c hieruit te elimineren, vindt men
de vergelijking van de verzameling:
4 4x -j- x2
2 x
x x" X 2xu
x
4 -f- 4x x2, x2 -f- 2xy 4x -j- 4 0.
B2 AC 1 0, het is dus een hyper
bool.
Na verschuiving van het coördinatenstel
sel naar het middelpunt (a, b), moeten
de coëfficiënten van x en y nul zijn.
(x a)2 2(x a) (y b)
4(x a) 4 0.
x2 -)- 2ax -f- a2 -)- 2xy -f- 2bx -j- 2ay
2ab 4x 4a -(- 4 0.
2a -f- 2b 4 0 en 2a 0, dus a 0
en b 2.
Onderzoek asymptoten. Na substitutie
van y mx -f- q moeten de coëfficiënten
van x2 en x gelijk nul gesteld worden.
1 -(- 2m 0, 2q 4, dus m 1- en
q 2, zodat y hx -f- 2 of x -j- 2y
4 0 de vergelijking is van één
asymptoot. Om de tweede asymptoot te
vinden, substitueert men x q. Dit geeft:
2qy -\- q2 4g 4 0. De term met
y'1 ontbreekt, zodat men slechts de coëffi
ciënt van y nul behoeft te stellen. 2q 0,
q 0. De tweede asymptoot is dus x
0, d.w.z. de y-as.
161
x„
verzat
c y 2 \s o
