Nu kunnen we de vergelijking voor de ver-
schilhoeken opstellen voor ieder willekeurig
punt, ook voor P, het definitieve punt, waar
ze niet f'maar v-t genoemd worden. Kiezen
we een assenstelsel met P als oorsprong, dan
is ïiw' a/A* b' Ay- 1
Om nu P te vinden, waar de functie [ƒ7']
minimaal is, moeten we vgl. 1kwadrateren.
We beschouwen F [ƒ7'] w als een functie
in A* en Ay-
F— [ffA=[ff] [aV] Ax2 [b'b') Ay2+
2 [a'b'] Ax Ay 2 [a'f] Ax+ 2 [Ff] Ay
(2)
Hiervan kan men, door te differentiëren naar
A* en Ay- twee afgeleide functies bepalen:
FAx' JA 2 [a'a'] Ax 2 a'bAy
dAx
dF
F^y dAy'
2 [a'f] (3a)
;2[FF]Ay 2[a'F] Ax
2 [Ff] (3b)
Stellen we ons nu voor, dat Pw zich beweegt
op een lijn aan de Was, m.a.w. Ay is
constant en A* variabel, dan doorloopt F
daarbij een veranderlijke waarde, die
door een parabool kan worden voorgesteld.
Deze is minimum voor die waarde van A*
waarvoor Fa' 0 is, dus volqens (3a)
[a'f] [a'b'] Ay
voor A* F T7ïvoordeze
[aa
waarde van Ay en déze verplaatsing van Pw,
nl. aan de Was.
Nemen we voorlopig A* constant en Ay
variabel, dus verplaatst Pw zich aan de
Y-as, dan kunnen we, door F 0 te stel
len, zie (3b), de waarde van Ay vinden,
waarbij F minimum is, voor dié waarde van
Ax en dié verplaatsing, nl. aan de Y-as.
[b'f] [a'b'] A*
Ay [b'b']
Als we nu F^x' en F/\y' gelijk 0 stellen, en
(3a) en (3b) delen door 2, ontstaan de zo
genaamde normaalvergelijkingen:
[a'a'] Ay [a'b'] Ay - [a'f] (4a)
[a'b'] A* [b'b'] Ay - [b'f] (4b)
(4a) en (4b) zijn twee vergelijkingen van de
eerste graad met twee onbekenden. Als we
die oplossen, vinden we een stel waarden
voor Ax en Ay. waarvoor F^x' 0 en
Fi_Xj 0 is. M.a.w. F is minimaal, zowel in
de richting aan de Was als in die// aan de
Y-as. Deze Ax en Ay zijn de coördinaten
van het definitieve punt P.
229
SCHAAL 1:1
menigvuldigd, m.a.w. ze vervallen.) In fig. 3 zijn F,
F' en F" grafisch voorgesteld. Hieruit blijkt dat bij
x 0,67, waar F" 0, F' minimaal is, en bij
x 1,93 en x +0,6, waar F' 0, F respec
tievelijk een maximum en een minimum vertoont. Dit
illustreert de regel: Is voor een waarde van .v een
functie minimum of maximum, dan is voor die waarde
van .v de afgeleide functie gelijk nul. De afgeleide F'
is nl. de tangens van de hoek, die de F-kromme, of
beter gezegd de raaklijn eraan, met de K-as maakt.
F", hier van de eerste graad, levert een rechte lijn;
F' ,van de tweede graad, is een parabool; F, van de
derde graad, is een niet nader te definiëren kromme.
Men zie verder hiervoor een leerboek over de be
ginselen van de Differentiaal- en Integraalrekening.
Het differentiëren van een algebraïsche functie bestaat
hierin, dat men de coëfficiënten der verschillende ter
men vermenigvuldigt met de machtsexponent en die
exponent zelf met 1 vermindert. Zo is bijv. van
F 2x's 4.r2 7x 5 de afgeleide functie
F' 6 .V2 &x 7. Hieruit leidt men weer
dx
af F" 12x 8. (Men merke op, dat de termen
waarin geen factor x voorkomt, met nul worden ver-
Ter verduidelijking denke men zich op het vlak van
tekening vanuit ieder punt een loodlijn opgericht, die
op bepaalde schaal F \['f']w voorstelt (zie fig. 4).
De uiteinden dezer lijnen vormen een gebogen vlak.
een zg. paraboloïde, waarvan elke verticale doorsnede
een parabool en elke horizontale doorsnede een ellips
is. Boven P, waar F minimum is, bevindt zich het
laagste punt van de paraboloïde, dat als (P) is aan
geduid.
