fig. 13c
A
1 V
y
A
4.
1:3
i
249
Ui v, a,x -\- b,yUi t>, a,x b,y.
(Vergelijk form. (1); zoals we in afdeling I
de verschuiving van Pu. beschouwden t.o.v.
P', vergelijken we nu Pe met P.
fj~— [g(u' u)2] [(u u)2] [ax+by]2 of
fx~— [aa]x2 -\- 2 [ab]xy [bb\y~.
Ook is ,«2 [uu] [uu], hetgeen volgt uit [uu]
[uu] 2[au]x 2 [bv]y [aa]x2 2 [ab]xy
[bb] y'2.
Omdat P het snijpunt is van de rechten (4a) en (4b),
zie fig. 11, is [au] k 0 en [bv] «s 0. (Feitelijk zou
voor het punt P de inversieconstructie, enz. herhaald
dienen te worden met opnieuw uitpassen van a* en b,\
maar door de geringe verschuiving van P' naar P
vergeleken met de afstanden PNzal de wijziging van
ai en bi praktisch nihil zijn.) We kunnen de verge
lijking dus vereenvoudigen tot
[uu] - [uu]
of fl2 [uu]
aa]x1 4- 2 [ab]xy
- [cv].
[bb]y2
t
1
1
L—
1
1
1
1
IZ»
1
Dit is voor te stellen door de paraboloïde van fig. 4
te snijden met een verticaal vlak door P en Pezie
fig. 13c. De rechte AB is de snijding van het vlak van
de standaardellips met het vlak van tekening. Hier
ziet men [uu], [uu] en /<2 [uu] [uu]
(u - u)2] grafisch voorgesteld.
Van de standaardellips zijn de eindpunten
van de middellijnen door P samenvallende
met de X- en de Y-as te tekenen.
PSl(dm) Vp2 [aa] en PT{dm) \,/u~ [bb].
De richtingstangens van de raaklijn in punt
d x
x,y van de ellips, bepalen we als
volgt:
Differentieer de vergelijking van de kromme
naar x en y: d y9' 2[aa]x dx -f- 2[ab]y dx
2[ah]x dy 2[bb]y dy.
Hierin is, omdat y9 een constante is. d ,tr 0.
In het punt Slf met y 0, vereenvoudigt de
vergelijking zich tot:
2 [aa]x dx -
dx[ah]
dy [aa]
2 [ab]xdy 0 of
M.a.w. de raaklijn in Sj (en in S/) loopt
evenwijdig met de rechte (4a). Op overeen
komstige wijze volgt dat de raaklijnen in T
en T' evenwijdig lopen met de rechte (4b).
Gewoonlijk kan men de ellips hieruit vol
doende nauwkeurig schetsen. Is de vorm
langgerekt, dan tekent men er nog twee raak
lijnen bij, zie ook fig. 15. Hiertoe bepaalt men
op de lijn (4a) de punten V en U. UT is
(4b) en VT is de X-as. Nu is PS2
\/prr X PV (in de praktijk neemt men US2
SoV). De rechten door SL» en S2'aan de
X-as zijn raaklijnen aan de ellips. Zo ont
staat de vierhoek H^HoH^H^. Met behulp
hiervan kan men nog vier raaklijnen bepalen.
PSl w 2 X PHU PS2 i V2 X PH2,
enz. De raaklijnen in 5,, S2, enz. lopen
met de diagonalen van het parallellogram
H}H2H2Hd. Zo is iedere ellips wel voldoen
de bepaald.
Het „waarom" van deze constructie blijkt als
men fig. 13a vergelijkt met fig. 13b, waar
door scheve projectie uit het oneindige de
ellips in een cirkel is veranderd en P5j en
PS2 een rechte hoek met elkaar maken. We
hadden reeds gezien, dat PS, en PS2 (of X-
as en rechte (4a)) twee toegevoegde richtin
gen van de ellips zijn. Uit de cirkelfiguur volgt
PS2 PT V PU X PV en blijkt waarom
PS, i V~2 X PHV
De assen van de ellips bepaalt men het ge
makkelijkste door op de tekening een door
schijnend vel geruit papier te leggen, bv. no
mogram Kad. nr. 89, en dit te draaien tot de
ellips t.o.v. de ruiten symmetrisch ligt. Zie
praktische wenken 4.
IV. Werkvoorbeeld
Bij het werkvoorbeeld, waarvan fig. 14 de be
rekening en fig. 15 de meetkundige construc
tie geeft, is de inversieconstructie enz. weg
gelaten, daar dit in fig. 8a reeds duidelijk is
gemaakt^ Er is in de praktijk veel voor te
zeggen /V; en P' op een ander vel door te
prikken, zoals in fig. 15 is gebeurd. (Er is
met opzet een ongunstig geval gekozen, zo
dat een langgerekte ellips ontstaat.)
