99 T Ar
2 Pt
141
Er ontstaat daardoor een veelhoek in de boog. Is
het een zuivere cirkelboog dan is deze veelhoek
gelijkzijdig en hij is regelmatig; dit laatste zal bij
benadering het geval zijn als de boog geen zuivere
cirkelboog is. Uit de figuur blijkt dat de som van
de buitenhoeken e1( s2... enz. gelijk is aan de hoek
cp. De buitenhoek in het snijpunt van de recht
standen is dus Ej cp.
i 1 n
Nu kunnen twee rechtstanden die elkaar onder een
bepaalde hoek snijden vloeiend met elkaar verbon
den worden door een oneindig aantal verschillende
bogen. Maar brengt men in deze bogen op gelijke
afstanden As deelpunten aan, dan blijft steeds
gelden dat de som van de buitenhoeken e dezelfde
waarde heeft als de buitensnijdingshoek van de
twee rechtstanden.
Beschouwen we nu zo'n buitenhoek enader:
dan blijkt dat men in de driehoek i 11
die gevormd wordt door de rechte 1, i 1
en de koorde door i 1, i 1, kan aantonen:
a £t
Stel dat de pijl op de koorde i 1, i 1 in de
boog pi is, dan is tevens
si na
en siny?
Pi
As
Omdat bovendien Ar enkele meters en pt een aan
tal millimeters groot is mag men stellen:
Zodat geldt: et
2Pi
As
Maar omdat ook geldt: 2 et z
i 1 n
cp
is:
2 2
i 1 n J
of cp
As
i 1 n
Hieruit volgt de tweede eis van een boogverbete-
ring, n.m. de sommen van de pijlen in de oude en
nieuwe boog moeten gelijk zijn. Weliswaar kan
men nu aanvoeren dat een boogverbetering altijd
betrekking heeft op een gestoorde boog, maar ook
dan kan men dit bewijs nog leveren omdat de
benadering die men toepast zeer gering is. Een
ernstig gestoorde boog vertoont op een koorde-
lengte van een tiental meters een storing van
slechts enkele centimeters. In de tabel betekent dat,
dat de laatste waarde in 'kolom 5 ook nul moet zijn.
Het gevolg van een waarde ongelijk nul zou im
mers aangeven dat de sommen van de verschillen
tussen de oude en nieuwe pijlen gelijk zijn en dat
dus de som van de oude pijlen en de som van de
nieuwe pijlen niet aan elkaar gelijk zijn.
Is de laatste waarde in kolom 6 nu nul zonder dat
de laatste waarde in kolom 5 nul is, dan betekent
dit dat de boog wel uitkomt in de aansluitende
rechtstand (immers de verschuiving van het laatste
punt is nul) maar dat de som van de deelhoekjes
Ei niet gelijk is aan cp en dat er dus een knik zal
zijn bij de aansluiting van de boog aan de recht
stand.
Is wel aan de beide eisen voldaan, dan geldt in de
tabel als punt 4 het laatste punt van de boog zou
zijn
4f1 3f2 2*3 0 (a)
en v1 -f v2 v3 v4 0
Vermenigvuldigt men de laatste vergelijking met
het aantal boogpunten vermeerderd met één (in dit
geval 4 +1=5) dan ontstaat:
5v1 5^2 5v3 5f4 0 (b)
Vermindert men (b) met (a) dan blijft over:
vx 2v2 5v3 Avi 0 (c)
Dit betekent dat wanneer men het nummer van het
deelpunt vermenigvuldigt met de daar bepaalde
correctie, de som van deze produkten de waarde
nul moet hebben.
Wanneer echter het rechterlid van (c) niet nul is,
het nul zijn treedt slechts bij uitzondering op
dan betekent dit dat de som van het produkt van
deelpuntnummer met pijlverschil in het laatste
punt, aan deze waarde, zij het met tegengesteld
teken, gelijk zal zijn. Maar dan is hier ook direct
een methode gegeven om de laatste verschuiving de
waarde nul te geven. Is immers bij een willekeurige
boogverbetering de laatste halve verschuiving niet
0 maar bijvoorbeeld 32, dan kan men deze waarde
