y W
Poi' q
142
op de volgende wijze vereffenen. Stel dat de origi
nele pijl bij punt 5 de waarde 23 heeft en de ver
beterde pijl 25. Het verschil tussen de pijlen is
2, het produkt van het deelpuntnummer en ver
schil is 10. Bovendien veronderstelt men dat de
pijl bij een ander punt, bijvoorbeeld punt 37, 31
is in de oude en 26 op de verbeterde boog. Het
verschil is +5 en het produkt +185.
Verandert men de verbeterde pijl bij punt 5 van
25 in 24 en bij 37 van 26 in 27 dan blijft de som
der pijlgrootten gelijk. Het verschil in punt 5 is
veranderd van 2 in 1, waardoor het produkt
5 wordt in plaats van 10, bij punt 37 ver
andert het verschil van +5 in +4 waardoor het
produkt 148 wordt. Dus terwijl de som van de
pijlen gelijk blijft heeft men volgens (c) de som
van de produkten van deelpuntnummer en pijl ver
schil verminderd met 10 185) 5
148) 32. De rechter leden van (c) en (b) zijn
nu nul en dus is het rechter lid van (a) ook nul.
Het is duidelijk dat de keuze van de te veranderen
punten willekeurig is en dat men eventueel ook
meer punten kan kiezen.
Hieruit blijkt hoe men een regel kan opstellen
om de halve verschuiving bij het laatste punt de
waarde nul te geven. Deze regel luidt:
„Wanneer de laatste halve verschuiving positief
is, dan vermindert men de pijl bij een punt met
hoog deelpuntnummer en men verhoogt de pijl
met eenzelfde waarde bij een punt met een laag
deelpuntnummer, waarbij men de deelpunten in
paren kiest, zodat de som van de puntnummerver-
schillen vermenigvuldigd met de waarde der pijl
verandering gelijk is aan de waarde van de laatste
verschuiving". Indien de laatste verschuiving nega
tief is, dan verhoogt men de pijl in het deelpunt
met een hoog nummer en vermindert men de pijl
in een punt aan het begin van de boog.
Naast het feit dat men op deze wijze de verschui
ving van het laatste punt nul kan maken is hier
natuurlijk ook een methode gegeven om de ver
schuiving in een bepaald punt van de boog een
bepaalde te voren gewenste verschuiving te geven.
Dit kan men eventueel met meerdere punten doen,
door de gewenste pijlen in de punten daarvóór
met een gering bedrag te veranderen. En het zal
duidelijk zijn dat hierin nu juist de grote aantrek
kelijkheid schuilt van deze methode van boogver-
beteren. Bij een bestaande boog heeft men veelal
bepaalde punten die men graag zou willen hand
haven ook als men de boog verbetert. Ik denk hier
bij vooral aan plaatsen waar de boog over een brug
gaat of daar waar de rails opgesloten liggen tussen
de bestrating van een overweg. Bij spoorwegen is
men bovendien veelal gebonden aan een minimum
afstand tot allerlei obstakels langs de sporen zoals
bijvoorbeeld seinpalen en bovenleidingportalen.
Men is dus zelden vrij om een boog zo maar te ver
beteren, maar door deze methode is het mogelijk
om snel en met voldoende nauwkeurigheid een
aanvaardbare en efficiënte oplossing te geven.
De overgangsboog
Bij het bepalen van de pijlgrootte der gewenste
pijlen in de overgangsboog gaat men uit van de
vergelijking van de bij spoorwegen gebruikelijke
kubische parabool
x3
waarbij men aanneemt dat de lengte langs de abscis-
as bij benadering gelijk is aan de lengte langs de
boog. Met behulp van de figuur kan men het ver
loop der pijlgrootten in de overgangsboog bepalen.
-10 1 2 3 4
R
Bij gelijke deelpuntafstand Ar is de ordinaat bij
punt 1
<Aj>"
7 6RL
De gemeten pijl bij punt 0 zal dus zijn:
p x
Po 2 6RL
(Ar)3
Noemt men qdan geldt voor p0:
6RL
Voor de pijl bij punt 1 kan men bij benadering
stellen, dat deze gelijk is aan de halve som der
ordinaten bij punt 0 en punt 2, verminderd met
de waarde voor de ordinaat bij punt 1. Deze regel
geldt algemeen, namelijk:
„De pijl in een punt van de overgangsboog bij ge
lijke koordelengte gemeten, is bij benadering gelijk
aan de halve som van de ordinaten van het vorige
en volgende punt, verminderd met de waarde van
de ordinaat in dat punt mits de overgangsboog zich
niet te ver van de abscis-as verwijdert".
Op deze wijze vindt men voor de pijlen bij punt
1, 2, 3,
