Nieuwe inzichten in de puntsbepaling
Ir. van Mierlo, wetenschappelijk medewerker aan de Technische
Hogeschool Delft.
Voordracht gehouden op het 4e N.G.L.-Congres te Arnhem,
2930 september 1967.
Het is Prof. Baarda gelukt om de vele be
staande methoden van puntsbepaling onder te
brengen in een zeer algemene theorie, die be
rust op het gebruik van complexe getallen. Zo
zijn dan bijvoorbeeld triangulatie, trilateratie,
snelliuspunt, veelhoeken en dergelijke alle bij
zondere gevallen van deze theorie. Het is ech
ter onmogelijk om in zo'n kort tijdsbestek de
gehele opbouw en de uitwerking ervan te be
handelen. Ik zal dan ook trachten de grond
gedachte weer te geven zonder gebruik van
complexe getallen te maken en de praktische
toepassing ervan illustreren aan de hand van
puntsbepaling gedaan ten behoeve van een
ruilverkaveling.
De ligging van één of meer punten in een plat
vak wordt veelal aangegeven door aan de
punten coördinaten toe te kennen. Vaak zijn
dit rechthoekige coördinaten zoals in de land
meetkunde gebruikelijk is. Echter, de aanname
van het nulpunt van het coördinatenstelsel,
evenals de schaal en de oriëntering berusten op
volledige willekeur.
Door een evenwijdige verschuiving van het
coördinatenstelsel veranderen de coördinaten.
Wat echter niet verandert, zijn de coördinaat-
verschillen tussen twee punten. We zeggen
dan ook wel, dat coördinaatverschillen inva
riant zijn tegen een translatie van het coördi
natenstelsel.
Uit de coördinaatverschillen tussen twee pun
ten kunnen we de lengte en het argument be
rekenen. Deze zijn dus ook invariant tegen
een translatie van het coördinatenstelsel. De
lengte, welke op deze wijze berekend wordt,
sluit in, de aanname van een bepaalde lengte
eenheid (bijv. de meter) en het berekende argu
ment, de aanname van een nulrichting, „het
kaartnoorden". Lengte-eenheid èn kaartnoor-
den berusten op willekeur.
In plaats van twee punten beschouwen we nu
drie punten. De nulrichting, die willekeurig
gekozen was, kunnen we elimineren door twee
argumenten van elkaar af te trekken, waar
door we een hoek verkrijgen. Dit wil dus zeg
gen, dat de hoeken bij draaiing van het coör
dinatenstelsel ongewijzigd blijven; niet de
coördinaatverschillen en argumenten.
Anders gezegd: een hoek is invariant tegen een
draaiing van het coördinatenstelsel en ook, te
gen een translatie. Voor een lengte geldt het
zelfde.
Gaan we over tot wijziging van de maateen
heden op de assen, bijvoorbeeld van meters
naar yards, dan blijven de hoeken ongewij
zigd, maar de lengtes veranderen.
Wat echter niet verandert, is het quotiënt van
twee lengtes of wel de lengteverhouding.
Samenvattende kunnen we zeggen, dat een
hoek en een lengteverhouding onafhankelijk
zijn van plaats, schaal en oriëntering van het
gebruikte coördinatenstelsel of anders gezegd
invariant zijn tegen een gelijkvormigheids
transformatie.
Deze zeer belangrijke eigenschappen van de
grootheden hoek en lengteverhouding maken
nu een koppeling met het meetproces moge
lijk. Het meten van één enkele richting heeft
geen zin, omdat de nulstand van de horizon
tale rand van de theodoliet onbekend is. Bij
meting van tenminste twee richtingen in één
serie kunnen we de willekeurige nulstand van
de horizontale rand door aftrekking elimine
ren.
Bij het meten van een lengte passen we een
lengte-eenheid een aantal malen af. Deze leng
te-eenheid kunnen we elimineren door twee
lengtes vanuit een punt naar twee andere pun
ten te meten en dan het quotiënt te vormen
van de twee gemeten lengtes. Bij het bepalen
73
