DE PROJECTIE VAN MOLL WEI DE
door H. J. L. AHerben,
technisch ambtenaar bij de landmeetkundige dienst van het Kadaster te Groningen.
Inleiding
Een van de minder bekende conventionele
kaartprojecties is de projectie van Mollweide,
zo genoemd naar haar ontwerper de Duitse wis
kundige en astronoom Karl Brandon Mollweide.
K. Br. Mollweide (geb. 3 febr. 1774 te Wolfen-
büttel, overl. 10 maart 1825 te Leipzig) was in
1811 hoogleraar in Leipzig en is vooral bekend
geworden door zijn in 1808 gepubliceerde, veel
al naar hem genoemde, maar al lang vóór hem
voorkomende trigonometrische formules.
Dezelfde als de eerder reeds door Mollweide
ontworpen kaartprojectie is de projectie van
Babinet.
De Franse natuurkundige Jacques Babinet
(1794-1872) noemde haar echter homalografi-
sche projectie (Gr. homalos regelmatig).
Hel principe van de Mollweide-projectie
De Mollweide-projectie is equivalent en dient
om de gehele aarde af te beelden in een ellips.
Equivalent d.w.z. de oppervlakte in de afbeel
ding is gelijk aan de oppervlakte op de aardbol.
Dat het mogelijk is een ellips te creëren waar
van de oppervlakte overeenkomt met die van
de aardbol, blijkt uit figuur 1.
In deze figuur is de halve lange as van de
ellips a 2r, de halve korte as b r.
De ene helft van de aardbol (straal Rwordt
afgebeeld in de cirkel met straal r.
Wil deze afbeelding equivalent zijn dan moet
voldaan worden aan de eis:
oppervlak cirkel oppervlak halve bol
nr2 2jxR"
r2 2 R2
r 2
Aan weerszijden van dc cirkel en begrensd door
de omtrek van de ellips wordt de andere helft
van de aardbol afgebeeld.
De oppervlakte van de ellips is nu:
jt ab n.2r.r 2nr2
Substitutie van r Ry/2 hierin geeft:
oppervlak ellips 4ni?2 en dit is precies gelijk
aan het oppervlak van de bol.
Niet alleen de lange as van de ellips wordt door
cirkel en ellips in vier gelijke stukken verdeeld,
maar ook elke lijn evenwijdig aan de lange as.
Is O de oorsprong van een assenstelsel met de
X-as langs de lange as en de L-as langs de
korte as van de ellips (zie figuur 1), dan zijn de
vergelijkingen voor cirkel en ellips respectieve
lijk
x2 y2 r2 en bY
i
1
Door substitutie van y c in deze vergelij
kingen worden de snijpunten verkregen van een
willekeurige lijn, evenwijdig aan de lange as,
met cirkel en ellips.
De snijpunten met de cirkel zijn
x ±V2 - c2.
De snijpunten met de ellips zijn
x2 4c2 4r2
±2 y/r2 - c2.
Hieruit volgt, dat de lijn y c door cirkel en
ellips in vier gelijke stukken ter grootte van
\/r2 - c2 wordt verdeeld.
Derhalve zijn de oppervlakten van de gearceer
de gebieden I, II, III en IV in figuur 1 ook aan
elkaar gelijk. Met het voorgaande is dus aan
getoond, dat het mogelijk is de „voorkant" van
de aardbol af te beelden in de cirkel en de
„achterkant" in de resterende delen van de
274
Fig. l.
2 J_ 9 2 X' -L y
t x I r
of -r-^r ^r~
4 r2 r2
X-as
