Beginselen van toetsing
en grenswaardetheorie
door ir. J. van Mierlo,
wetenschappelijk ambtenaar aan de Technische Hogeschool te Delft.
Bij meting van een bepaalde grootheid (bijv. een
lengte of een hoek), verkrijgen we meestal als
resultaat een aantal waarnemingen die niet alle
dezelfde getalwaarde hebben. We spreken dan
van een stochastische grootheid, gekenmerkt
door de waarden die hij kan aannemen èn de
kansen waarmee hij die waarden tussen eindige
intervallen aanneemt.
Wanneer we alle gevonden waarnemingen in
volgorde van meting zouden opschrijven, krij
gen we een enorme hoeveelheid getallen waar
eigenlijk weinig of niets aan te zien valt. Aller
eerst gaan we nu die getallen opnieuw groeperen
door ze in volgorde van grootte te plaatsen en
het aantal keren te tellen dat een bepaalde waar
neming voorkomt. We krijgen dan een frequen
tietabel. Het verschil tussen de grootste en de
kleinste waarneming de variatiebreedte of sprei
dingsbreedte zegt iets over de onderlinge varia
tie van de waarnemingen. De variatiebreedte is
altijd eindig.
Veelal zal het aantal waarnemingen n verdeeld
worden in een aantal klassen. Het aantal waar
nemingen dat in een bepaalde klasse valt noe
men we de frequentie van die klasse. In plaats
van de frequentie kunnen we ook het percen
tage of de fractie van het totaal aantal waar
nemingen in elke klasse uitrekenen. Dit getal
heet het frequentiequotiënt van de klasse, ook
wel relatieve frequentie genoemd.
Relatieve frequenties kunnen grafisch weerge
geven worden door een histogram. Hiertoe zet
ten we op een x-as de klassegrenzen uit en op
elk zo verkregen interval, richten we een recht
hoek op waarvan de oppervlakte gelijk is aan
het frequentiequotiënt wat bij dit interval be
hoort.
Het aantal klassen moet niet te groot zijn om
x-as
te veel onbelangrijke details naar voren te laten
komen. Echter ook niet te klein omdat dan
weer te veel details verdoezeld worden. Het
aantal klassen nemen we gewoonlijk gelijk aan
de vierkantswortel van het aantal waarnemingen
met een maximum van 20.
Het is zeer gewenst dat we de beschikking krij
gen over één of meer getalwaarden die de fre
quentieverdeling karakteriseren. Deze getal
waarden noemen we de parameters van de ver
deling. De belangrijkste parameter die wij allen
vaak gebruiken, is het rekenkundig gemiddelde
van de waarnemingen.
Als we van de stochastische grootheid x (aange
duid door x) beschikken over n waarnemingen
xu Xo, xn dan geldt voor het gemiddelde x:
Het gemiddelde geeft ons informatie over de
algemene ligging van de waarnemingen. Een
maatstaf voor de variaties van de waarnemingen
rondom het gemiddelde is de spreiding of de
standaardafwijking.
De standaardafwijking sx van een reeks van n
waarnemingen xu x.,, xn is
De variantie is niets anders dan het kwadraat
van de standaardafwijking.
In de natuur komt de klokvormige verdeling van
het histogram zeer veel voor. Het werken met
een trapjeslijn is vanuit wiskundig oogpunt geen
sinecure. Daarom wordt de trapjeslijn vervangen
door een gladde kromme die eenvoudiger te be
handelen is. In plaats van frequentieverdeling
spreken we nu van kansverdeling.
Een kansverdeling die de klokvormige frequen
tieverdeling zeer goed benadert is de zgn. nor
male verdeling of de Laplace-Gauss-verdeling.
De functievergelijking die aan de normale ver
deling ten grondslag ligt, met parameters <jx en
heeft de vorm:
294
Figuur 1.
i 1
