(x)
X
1 2a/
e
ax V2jr
Het symbool ar duidt de standaardafwijking van
de kansverdeling aan, ~het gemiddelde, de mid-
waarde. Schattingen voor beide parameters
moeten ontleend worden aan een histogram.
De waarschijnlijkheid of kans dat x een der
waarden tussen a en b aanneemt is gelijk aan
het gearceerde oppervlak in fig. 2. Als a en b
beide oneindig groot zijn (a - oo en b
oo) dan is het oppervlak gelijk aan 1.
j(X)
y-y
5y
i f
1
1
1 1
i
1 j 1 x-x
y
De grootheid z heeft midwaarde nul
en standaardafwijking 1. De verdeling van z.
wordt de standaard normale verdeling genoemd.
Deze verdeling is uitvoerig getabuleerd.
We gaan nu over tot meerdimensionale verde
lingen. Als van een „object" twee maten waar
genomen worden, bijv. meting van lengte x en
dikte y van een peer, dan krijgen we een twee
dimensionale stochastische grootheid. We spre
ken nu ook van de bijbehorende tweedimensio
nale frequentieverdeling. In plaats van een histo
gram krijgen we nu een stereogram (blokken
doosfiguratie).
Merkwaardig is dat de waarnemingen elkaar
beïnvloeden. Neemt de lengte van een peer toe
dan vertoont de dikte dezelfde tendens. We
spreken dan van positieve correlatie. Als er geen
correlatie is, liggen de punten met gelijk fre
quentiequotiënt ruwweg op concentrische cir
kels (hoogtelijnen van het stereogram). Dit geldt
bij goed gekozen maateenheden op x-as en y-as.
Het analogon van de eendimensionale normale
verdeling is de tweedimensionale normale ver
deling. Hierin komen vijf parameters voor:
1. de mid waarden en
2. de standaardafwijkingen ax en a,/,
3. de kruisvariantie maat voor correlatie
(Engels: covariance).
Als er geen correlatie is dan liggen de punten
met gelijke kansdichtheid - in stereogram: gelijk
frequentiequotiënt - op een stelsel concentrische
cirkels, mits de maateenheden op de assen goed
gekozen zijn.
In geval van correlatie liggen de punten met
gelijke kansdichtheid op een stelsel co-axiale
ellipsen. De standaardellips is een van deze
ellipsen.
Uitbreiding tot meerdere dimensies is mogelijk.
Hier gaan we niet verder op in.
De invoering van de normale verdeling betekent
een vereenvoudiging voor wat betreft de wis
kundige bewerkingen, maar het is een stap ver
der weg van de werkelijkheid. Het variatiege-
bied van de normale verdeling is immers onein
dig. Dit leidt tot het invoeren van de zgn. prak
tische variatiebreedte B: dit is het gebied dat
nog als werkelijk (aanvaardbaar) beschouwd
kan worden. De staarten die dan overblijven,
zijn de niet realistische gebieden.
3ca
Figuur 2.
295
('7
X
i
Hoogtelijnen stereogram
X-X
x-as
X X
0.r
Hoogtelijnen twee-dimensionale normale verdeling
Figuur 3.
