AANDACHT VOOR
KWADRATUUR EN RECTIFICATIE
VAN DE CIRKEL
In het novembernummer 1970 van het West-
duitse tijdschrift Vermessungstechnische Rund
schau staat een interessante benaderingscon
structie (zonder bewijs) van de kwadratuur en
rectificatie van de cirkel vermeld. Een lezer
van dit tijdschrift vond deze oplossing in een
dagblad.
In 1882 bewees Lindemann dat pi een trans
cendent getal is, dat wil zeggen een getal dat
geen wortel is van een hogeremachtsvergelij-
king met meetbare coëfficiënten. Hiermede
was ook aangetoond dat het onmogelijk is met
behulp van passer en lineaal een lijnstuk ter
lengte van een gegeven cirkel te construeren.
Het berekenen of het construeren van de leng
te van een lijnstuk die gelijk is aan de omtrek
van de cirkel wordt de rectificatie van de cir
kel genoemd.
Onder kwadratuur van de cirkel wordt ver
staan het berekenen van de zijde of het con
strueren van een vierkant, waarvan de opper
vlakte gelijk is aan die van een gegeven cir
kel.
In beide gevallen is de constructie met be
hulp van passer en lineaal niet uitvoerbaar;
men moet volstaan met benaderingsconstruc
ties.
Zie de figuur.
Een lijnstuk AD is in acht gelijke delen ver
deeld. Een punt B ligt op AD zodanig dat AB
yHAD. AB is een rechthoekszijde van de
gelijkbenige rechthoekige driehoek ABC. ^A
100 gr. Een cirkel wordt getrokken met
AD als middellijn. M is middelpunt. Deze cir
kel snijdt BC in E. De koorde ED is nu de
zijde van het vierkant DEFG (kwadrant I)
waarvan de oppervlakte ongeveer gelijk is
aan die van de cirkel (cirkelkwadratuur). Ver
volgens laat men uit E de loodlijn neer op
AD, voetpunt is H. HD is nu de zijde van
het vierkant DHKL (kwadrant II) waarvan de
omtrek ongeveer gelijk is aan de omtrek van
de cirkel (rectificatie van de cirkel).
In AMBE is MB l/4R, ME R en AB 50 gr.
Met behulp van de cosinusregel vinden we voor
V2 V62
BE= C 8 R
1/2 1/62 )R
In A BDE is BD y4R, BE=
en A B 150 gr. Met behulp van de cosinus-
regel is DE- (iy4 y4V31)R* 3,141941
R*
DE2 is de oppervlakte van vierkant I
3,141941 R-
De oppervlakte van de cirkel 3,141593 R-
De fout is ongeveer 0,00035 R2. Bij R 100
m een afwijking dus van 3y2 m2.
1/2+ 1/62
In A HBE is BE - -) R, Atf
100 gr. en AR 50 gr.
HB i/2 V2.BE (i/8
BD y4R
V31) R
HD HB BD (7/8 Vs V31) R
De omtrek van vierkaant II is 4x HD (7/2
VaV31) R 6,283882 R
De omtrek van de cirkel 6,283186 R
De fout is ongeveer 0,0007 R. Bij R 100 m
een afwijking van 7 cm.
Literatuur
Dr. P. Molenbroek, Leerboek der Vlakke Meet
kunde; P. Noordhoff NV.
P.G.
A1
174
