Het berekenen van
een „onmogelijke" as
door G. C. van Gogh, opzichter-tekenaar
Provinciale Waterstaat van Noord-Brabant.
Het zal voorkomen, dat degenen die assen van
wegen moeten berekenen, voor opgaven komen
te staan die niet bevredigend kunnen worden
opgelost door middel van de gangbare bereke
ningswijzen. Dat wil zeggen, dat er geen rede
lijke combinatie van cirkels en overgangsbogen
te bedenken valt. Dit kan voorkomen als de
ligging van de wegas door een aantal „onmo
gelijke" dwangpunten wordt bepaald.
Hieronder zal worden geprobeerd een bereke
ningswijze te ontwikkelen die bijna altijd resul
taat geeft.
Eerst worden enige begrippen gedefinieerd:
f(x) x3 betekent y x3. 3) 27 betekent
dus: als in de vergelijking y x3 aan x de
waarde 3 wordt gegeven, dan heeft de bijbeho
rende y de waarde 27. y is dus afhankelijk van
x, of y is een functie van x.
Als in het terrein een as wordt uitgezet, dan
doen we dit als regel door vanuit een rechte,
maten uit een bogenboekje uit te zetten. We
zetten dus x en y waarden uit. Als we een punt
nodig hebben dat niet in het bogenboekje voor
komt, moeten we dit volgens een bepaalde for
mule bijrekenen (interpoleren). Het geïnterpo
leerde punt zal dan harmonisch liggen ten op
zichte van de links en rechts gelegen punten.
We kunnen een as dus opvatten als een conti
nue interpolatie volgens een bepaald voorschrift.
Stel we hebben een aantal punten die in coördi
naten bekend zijn, b.v. A (0;0), B 1 C
(2;2) en D (3;»/2).
Nu wordt gevraagd om in dit systeem de y-
coördinaat te berekenen die behoort bij de x-
coördinaat x 3/2. Als we nu rechtlijnig inter
poleren tussen de punten B (l;1/2) en C (2;2),
dan vinden we y 5/4.
Verbinden we de punten A, B, C, en D door
een „vloeiende" lijn dan blijkt dat de gevonden
waarde y 5/4 afwijkt van de y-waarde die we
zouden vinden als we de punten A en D ook
bij de interpolatie zouden betrekken, want deze
„vloeiende" lijn zouden we kunnen opvatten als
de lijn waarop alle punten liggen die tussen A
B, C en D worden geïnterpoleerd (fig. 1). De
„vloeiende" lijn door A, B, C, en D beschou
wen we als de grafiek van een vergelijking. Deze
vergelijking geeft dus de samenhang aan tussen
de x- en y-coördinaten van de kromme door
de vier punten en is tevens het voorschrift voor
interpolatie tussen deze vier punten. We kunnen
de kromme dus beschouwen als de as door de
punten A, BC, en D.
Het blijkt mogelijk om de vergelijking te bepa
len van een kromme die door n punten gaat.
De vergelijking is een polynoom met graad n.
Een polynoom met graad 3 is b.v. f(x)
6x3 2x 4.
203
Figuur 1
