Cotangenten
en snijpuntsbepaling
door M. Rijsdijk, technisch hoofdambtenaar le klasse van
het Kadaster te Rotterdam.
Het was in het eerste levensjaar van Geodesia
dat ik in het nummer van februari 1960 een
artikel publiceerde over „Grote (co)tangenten".
Daarin liet ik o.a. zien hoe grote cotangenten,
precies als kleine, onder een hoedje te van
gen zijn. Ik hoopte daarmede een ten onrechte
vermeden gebied te hebben opengesteld en
vertrouwen in deze functies te hebben bewerkt,
waar wantrouwen heerste.
Nu lees ik hoe G. W. Eversdijk in zijn artikel
„Snijpuntberekening" in Geodesia van mei j.l.
wijst op „het losbandig karakter van tangenten
en cotangenten" en dit argumenteert als volgt:
„Daar deze functies niet zoals sinussen of co
sinussen aan een eindige limiet gebonden zijn,
kunnen zij verantwoordelijk zijn voor te grote
afrondingsfouten in het eindresultaat."
Laten we de zaak juist stellen. Als een tus
senresultaat met een afrondingsfout van slechts
een halve millimeter, wordt vermenigvuldigd
met een (co)tangens groot 10.000, ontstaat in
het eindresultaat een fout van vijf meter! Dat
ligt niet aan de (co)tangens, maar aan de af
ronding van het tussenresultaat. Als datzelfde
tussenresultaat gedeeld wordt door een sinus
groot 0,0001 ontstaat een evengrote fout!
Mag ik aannemen dat Eversdijk zijn ernstige
beschuldiging aan het adres van (co)tangenten
intrekt, totdat hij die bewezen heeft?
Hoe fraai de gevolgen van een dergelijke af
rondingsfout in een tussenresultaat kunnen
worden opgeheven, demonstreerde ik in bo
vengenoemd artikel en straks wil ik dat nog
verduidelijken.
In het Tijdschrift voor Kadaster en Landmeet
kunde van februari 1967 besprak D. De Vries
het boek „Vermessungstechnisches Rechnen"
van Hermann und Neubauher en schreef daar:
„Voorwaartse snijdingen worden in het bespro
ken boek met richtingstangenten uitgevoerd.
Alleen indien deze waarden te ongunstig uit
vallen wordt tot richtingscotangenten de toe
vlucht genomen. Wij volgen hier de regel wel
ke leert, dat van het argument hetwelk naar
mod. 50 het grootst is, de richtingscoëfficiënt
kleiner dan 1 moet worden gebezigd. (Van het
andere argument moet dezelfde functie worden
gebruikt.)
Als lastigste geval dat zich bij de voorwaartse
snijding kan voordoen wordt een voorwaartse
snijding behandeld, waarbij de ene rechte lijn
bijna evenwijdig aan de x-as loopt, de andere
bijna evenwijdig aan de y-as. De schrijvers
zien nu af van een numerieke behandeling en
kiezen een grafische oplossing. Intussen is ook
hier een heel geschikte numerieke oplossing
mogelijk. Men kan immers de gegevens in
controlecoördinaten en -argumenten transpone
ren. De richtingscoëfficiënten worden dan juist
uitermate gunstig: beide 1. Langs de gewo
ne weg zijn de controlecoördinaten van het
snijpunt nauwkeurig te bepalen en daaruit kan
men de gewone coördinaten van het snijpunt
nauwkeurig afleiden."
Hoe is het mogelijk, dat dit kon worden neer
geschreven, zeven jaar nadat mijn bovenge
noemd artikel verscheen. Het heeft geen zin
de recensent te vragen aan te tonen wat on
gunstige en uitermate gunstige richtingscoëffi
ciënten zijn of ook een wiskundige ondergrond
aan te geven van de door hem toegepaste re
gel. Hij kan dat niet. Ongunstige richtingsco
ëfficiënten bestaan eenvoudig niet en we moe
ten ophouden met spoken te willen ontwijken.
Het zal mij genoegen doen als De Vries zijn
aandeel in het hiervoor geciteerde terugneemt
en recht laat wedervaren aan mijn publicatie
in Geodesia van februari 1960.
De regel, die ik daar heb gesteld en trefze
ker heb bewezen, luidt:
Bij een snijpuntsbepaling berekenen we van de
eerste rechte de (co)tangens kleiner dan 1, on
verschillig hoe groot de (co)tangens van de
tweede rechte zal zijn.
Van deze heel eenvoudige regel kan, zonder
kans op tegenspraak, gezegd worden:
330
