3. Mogelijkheden van de reductiemethode in
combinatie met minimalisering van
geheugenruimte
In computerprogramma's voor kleinste-kwadraten-
vereffening wordt de grootte van de benodigde ge
heugenruimte in hoofdzaak bepaald door de ma
trix van de coëfficiënten van normaalvergelijkingen,
zowel bij het eerste als bij het tweede standaard
vraagstuk.
Bij het Laboratorium voor Geodetische Rekentech
niek zijn een aantal programma's en programma
systemen ontwikkeld vooral voor het vereffenen
van puntsbepalingsnetten, deze worden ook voor
het berekenen van praktijknetten van o.m. het Ka
daster gebruikt.
In de loop der jaren (vanaf 1958) heeft zich bij
het ontwerpen van deze programma's voor wat be
treft de te gebruiken reductie/inversie-methode in
relatie tot de wijze waarop op geheugengebruik be
spaard wordt, de volgende ontwikkeling voorge
daan.
Aanvankelijk maakte men gebruik van een inversie
methode voor het berekenen van (gTP) - respectie
velijk (gnP) van het tweede standaardvraagstuk
en voerde de overige berekeningen uit door matrix-
vermenigvuldiging. Aangezien (gpT) en (gpa) altijd
symmetrisch zijn, werd alleen het onderdiagonaal-
gedeelte daadwerkelijk in het geheugen van de ma
chine bewaard.
Later werd het concept van de zogenaamde zeef-
matrices ingevoerd, waardoor een aanzienlijke be
sparing werd verkregen en dus de grootte van de
netten die men toen op de beschikbare computer
kon berekenen toenam.
Op het IBM 360-systeem kon een kringnet met
maximaal 100 punten berekend worden; thans heb
ben wij de beschikking over een IBM 370/158 en is
deze bovengrens naar 1200 onbekenden of 400
punten verschoven.
Zeefmatrices worden verkregen door van een ma
trix die veel nullen bevat (een ijle matrix) alle ele
menten die nul zijn weg te laten en alleen de ove
rige elementen met een aantal administratiegetallen
op te slaan. Dit geschiedt zodanig dat de oorspron
kelijke matrix of een deel daarvan altijd weer ge
reconstrueerd kan worden; men raadplege voor de
uitwerking hiervan [3], [4] en [5].
De matrices in het eerste standaardvraagstuk
en ain het tweede* zijn bij puntsbepalingsnet
ten altijd ijle matrices. De laatste heeft in het geval
van richtingsmeting en pseudo-lengtemeting slechts
een aantal elementen ongelijk aan nul van vijf maal
het aantal waarnemingen. Voor een net met 50
punten en 200 waarnemingen betekent dit dat on
geveer 3% gevuld en dus 97% leeg is. In de meeste
gevallen wordt een gids opgesteld waarin alleen
(g?T) en (yp) worden ingevuld; na reductie wor
den dan (gTp(Yt) enSverkregen, de overige for
mules worden door matrixvermenigvuldiging uitge
voerd, waarbij speciale procedures zijn gemaakt
voor het behandelen van de zeefmairices. In het
tweede standaardvraagstuk wordt op analoge wijze
gehandeld.
Van het feit dat de coëfficientenmatrices van de
normaalvergelijkingen zelf bij netten van enige om
vang eveneens ijle matrices zijn, werd tot nu toe
geen gebruik gemaakt. Fig. 6 geeft een beeld van
de vullingsgraad van deze matrices bij triangulatie-
netten en bij kringnetten, terwijl tevens het totaal
aantal getallen als symmetrische matrix (trapmatrix)
is aangegeven.
-
Fig. 6.
In beginsel zou van de ijlheid op twee manieren ge
bruik gemaakt kunnen worden:
a. door alleen voorwaartse reductie toe te passen
op de wijze als in 2.1. is aangegeven, of
b. door de oplossing van de normaalvergelijkingen
en de inversie van de matrix langs iteratieve weg
te bereiken.
In geval a. zal de ijlheid van de matrix na reductie
zijn afgenomen, omdat een aantal nullen verdwijnt;
in geval b. kan de matrix ongewijzigd blijven.
Beschouwen we nu mogelijkheid a. nog iets nader,
dan blijkt het mogelijk te zijn door middel van
voorwaartse reductie mede gebruik makend van
de ijlheid van de matrix willekeurige elementen
van de inverse te berekenen zonder daarvoor eerst
de gehele matrix te hoeven berekenen; hetzelfde
318
(c1 matrix van coëfficiënten van de correctie-
a
vergelijkingen.
Aantal g«tallen
1
1
1
1
PUNTSBEPALING
MATRIX (9/3
1
1
1
1
1
1
1
f/
ff
ms
sDl-
0 50 100 150
Aantal punten
