Enige onderwerpen uit
de vereffeningstechniek
door Ir. J. J. Kok, Laboratorium voor Geodetische
Rekentechniek, T.H. Delft
Vereffenen door matrixreductie en minimalisering
van de benodigde geheugenruimte in een reken
automaat.
Inleiding
Ten onrechte verkeert men in de landmeetkundige
praktijk wel in de veronderstelling dat het uitvoe
ren van kleinste-kwadratenvereffeningen voor geo
metrische netten alleen kan worden verricht met
behulp van computers die een grote tot zeer grote
geheugencapaciteit hebben.
Door handig programmeren en door het toepassen
van een andere oplossingswijze dan matrixverme-
nigvuldiging en matrixinversie kan echter een sterke
beperking van de benodigde geheugenruimte wor
den verkregen.
Figuur 6 geeft een indicatie van de praktische be
tekenis van de technieken die hier zullen worden
besproken:
het reductieprincipe volgens Gauss;
vereffenen met behulp van matrixreductie;
ruimtebesparende technieken voor het opslaan
van matrices in een computergeheugen.
Waar in dit artikel gesproken wordt van „veref
fenen", dient hieronder te worden verstaan vereffe
nen in ruime zin, dus:
a. kleinste-kwadratenvereffening van gemeten net
ten, inclusief toetsing van de waarnemingen en
berekening van betrouwbaarheid (grenswaarden)
en van precisie (standaardafwijkingen) of
b. bij verkende netten alleen berekening van be
trouwbaarheid en precisie.
1Matrix-reductie: het algorithme van Gauss
1.1. Het reductieprincipe in zijn eenvoudigste
vorm
Het reduceren van een vierkante matrix, die posi-
tief-definiet is, tot een driehoeksmatrixwaarbij
een vector met „bekende termen" wordt meege-
reduceerd, staat bekend als reductiemethode van
Gauss. De matrix waarop het proces wordt toege
past, is meestal een coëfficientenmatrix van een
stelsel lineaire of gelineariseerde vergelijkingen.
Zij gegeven een stelsel lineaire vergelijkingen:
In matrices
b
b 2
b3
In kernletters A.x =b
De reductie van de matrix A tot een driehoeks
matrix is niets anders dan het successievelijk elimi
neren van X! t/m xn_x uit elke rij i 2,3 ,n.
Men kan dit bereiken door rijen met een faktor te
vermenigvuldigen en ze daarna van elkaar af te
trekken; in de lineaire algebra wordt dat wel het
„vegen met rijen" genoemd.
Inleiding, gehouden op de NGL-studiedagen 1974..
In formulevorm:
311
«11*1 +«12*2 +«13*3 +«ln*n bX
«21*1 +«22*2 +«23*3 «2n*n =b 2
«31*1 +«32*2 +«33*3 «3n*n =b3
«n 1* 1 «n2*2 «n3*3 +«nn*n=^
«11 «12 «13
«In
*1
«21 «22 «23
a2„
*2
«31 «32 «33
«3n
*3
_«n 1 «n2 «n3
ann^
_*n
_b n
