Bijlage
Variantie en covariantie; precisie
De variantie van een stochastische grootheid x
(als x geschreven) is het tweede moment t.o.v.
het gemiddelde van de kansverdeling van x, en
kan, als er een beperkt aantal (n) waarne
mingen van x gegeven zijn, berekend (geschat)
worden met
1
var x axx es -~T
Deze uitkomst wordt ook wel (sx)- genoemd.
Het rekenkundig gemiddelde
is een schatting voor de mathematische ver
wachting E(x) van de stochastische grootheid x
(eerste moment).
De benaming 0XX wordt gewoonlijk als (ax)2 ge
schreven, d.w.z. het kwadraat van de standaard
afwijking van x (fig. a).
Beschouwen we twee stochastische grootheden,
x en y, dan kan de covariantie uit een gegeven
aantal (n) paren waarnemingen x,y berekend
worden met
1 11
cov (x, y) - oxy co -r2 (X; x) (yy)
1
waarin x 2 x
n ui
1
en y 2 yi
Deze schatting voor axy wordt ook wel sxy
genoemd.
De covariantie is een maat voor de samenhang
tussen x en y; de covariantie geeft de correlatie
aan tussen x en y. Zijn x en y stochastisch
onafhankelijk, dan is oxy 0 (x en y zijn
„correlatievrij"). Zijn x en y daarentegen maxi
maal stochastisch afhankelijk, dan blijkt axy
ax.ay te zijn, dus gelijk aan het product van de
respectievelijke standaardafwijkingen.
Meestal berekent men de correlatiecoëfficient
gxy van twee stochastische grootheden x en y,
namelijk
QXy a—— (dimensieloze grootheid!)
ax.ay
Zijn x en y stochastisch onafhankelijk, dan is
Zijn x en y stochastisch afhankelijk, dan is
0 pxy 1.
De precisie van de coördinaten van een punt
kan worden beschreven met een zgn. matrix
van varianties en covarianties, kortweg varian-
tiematrix genoemd, namelijk
De precisie is dus bekend als ax, ay en axy ge
geven zijn. Uit deze gegevens kan de standaard
ellips berekend worden (fig. b).
Ook voor twee of meer punten kan men een
variantiematrix opstellen, waarin de elementen
bestaan uit varianties van ieder punt afzonder
lijk en de covarianties van alle combinaties van
twee punten. Men kan in zo'n variantiematrix
de volgende (co)varianties opmerken voor de
punten Pk en P.:
Uit deze gegevens kan de relatieve standaard
ellips berekend worden (fig. b).
Voorbeeld:
Een punt P wordt in coördinaten (x,y) be
paald; dit gaat gepaard met een bepaalde pre
cisie die met de resp. getalwaarden van de va
rianties oxx en öyy en van de covariantie oxy kan
worden beschreven. Om de betekenis van deze
getallen te verklaren, denken we ons de bepa
ling van P verscheidene malen herhaald. Stel
dat de uitkomsten van 15 opeenvolgende, onaf
hankelijk van elkaar uitgevoerde metingen aldus
zijn (tabel 1):
229
n—1 i i
1 V
X - - X:
n i i
-È67Z
betrouwbaarheidsgebied
95Z
kansverdeling van x (normale verdeling)
Fig. a
n—1 i i
n i i
Qxy 0
q Z^xx CTXy\ a~x Uxy\
\c7yx GyyS \rrxy 02y
punts tandaardel1ips
relatieve standaardellips
puntstandaardellips
Fig. b
rrx y ctx x y (7"y °V x °y y 5 CT"x j
k kk kl kl k kl kl 1
_2
CTx y <5 y
1 1 1
