„ingedeeld" over alle in te passen punten en
er bijgevolg geen restverschillen optreden, staan
bij vereffening de voorwaardevergelijkingen van
te voren vast. Dit is bij transformatie niet het
geval. Van de waarnemingen in onze situatie
de coördinaten van het puntenveld in coördi
natenstelsel (1) moet men bij vereffening
het kansmodel wel kennen.
Dit kansmodel is de matrix van varianties en
covarianties van alle beschouwde punten en
geeft de precisie van de punten aan ten opzichte
van een zgn. rekenbasis.
Door aan de waarnemingen van de inpaspunten
bekende voorwaarden op te leggen ontstaan
tegenspraken (sluittermen), die vervolgens met
de kleinste-kwadraten-vereffeningsmethode over
alle in te passen punten worden „verdeeld".
Hierbij wordt geheel rekening gehouden met de
statistische samenhang in het puntenveld (coör
dinatenstelsel (1)via de bekend veronderstelde
relatieve precisie. Bij een transformatie is dat
niet het geval.
De transformatieparameters (b.v. de grootheden
en co of p en q bij een overbepaalde gelijk
vormigheidstransformatie) die in de voorwaar
devergelijkingen als coëfficiënten van de waar
nemingen optreden, zijn pas bekend nadat men
de waarnemingen (de coördinaten van de inpas
punten in beide coördinatenstelsels) heeft inge
vuld en wiskundig heeft verwerkt. Bij deze be
rekening van de transformatieparameters wordt
weliswaar de kleinste-kwadraten-methode toe
gepast, maar niet om te vereffenen. Van de
transformatieparameters vindt alleen een klein
ste kwadratenschatting plaats, zó dat coördina
tenstelsel (1) „zo goed mogelijk" wordt aan
gepast aan coördinatenstelsel (2). Hierna past
men op alle in te passen punten deze para
meters toe. Omdat er in de inpaspunten rest
verschillen overblijven, is van een echte in
passing geen sprake.
De transformatie is grotendeels van wiskundige
aard en lijkt met de wiskundige statistiek weinig
van doen te hebben. Bij de overbepaalde gelijk
vormigheidstransformatie b.v. wordt stilzwij
gend aan alle punten dezelfde variantie toege
dacht, ongeacht de onderlinge ligging, en daar
bij correlatievrijheid van de coördinaten.
Bij een inpassing door vereffening wordt, zoals
reeds gezegd, uitgegaan van de statistische
samenhang in het puntenveld op grond van de
kennis van de relatieve precisie van de punten.
3. Transformatie en regressie
Wie bekend is met het begrip lineaire regressie
uit de wiskundige statistiek, kan de besproken
overbepaalde transformaties (in het bijzonder
de gelijkvormigheidstransformatie) met die me
thode vergelijken.
De algemene formule luidt in beide gevallen,
voor de m inpaspunten (i 1, m):
Xi(2) v; a. Xi0 bi y,(i) c, n
yd2) W; a2 X;d) b.2 ydb c2 j
en voor alle overige (n - m)punten van het
puntenveld (k m 1, n):
xk(2) &1 xk(D b, ykd) c,
yk(2) a, xkd) b, ykd) c2 I (2)
waarin bovenindex (1) of (2) coördinatenstelsel
(1) of (2) aangeeft en vi; Wi de correcties zijn,
berekend met de kleinste-kwadraten-methode,
aan resp. X;(2) en y^2). Als de formules (1)
geen affiene, maar een gelijkvormigheidstrans
formatie betreffen, dan geldt:
ai b2 p X cos o>
a.2 bi q 1 sin tu j
De formules (1) zijn lineaire vergelijkingen van
de regressiegrootheden a,, b,c, resp. a.,, b2, c,.
Door de coördinaten van de inpaspunten "(hier
beter gezegd de aansluitingspunten) in de
linker- en rechterleden van de formules (1) in
te vullen, kunnen de coëfficiënten a,, b,c, en
a2, b2, c2 met de kleinste-kwadraten-methode
verkregen worden.
Vervolgens kan men de nieuwe coördinaten van
alle overige punten berekenen door de rechter
leden van formules (2) in te vullen. De coördi
naten van de aansluitingspunten in coördinaten
stelsel (2) behoort men eigenlijk te corrigeren
met de bedragen V; en w:. Deze bedragen zijn
de onvermijdelijke restverschillen (fig. 2).
Wat men in feite bij de transformatie en bij de
lineaire regressie doet, is dat men het functio
nele verband opzoekt tussen de coördinaten
stelsels (1) en (2) via de aansluitingspunten.
Daarna past men het resultaat toe op alle te
transformeren punten. Daarbij distantieert men
zich van de werkelijke ligging van de aanslui
tingspunten die het gevolg is van het stochasti
sche karakter van coördinaten, om over te
stappen op een wiskundige relatie.
Een eenvoudig voorbeeld is de bepaling van de
lijn van orthogonale regressie tussen een aantal
gegeven punten (fig. 3).
In vergelijking met het bovenstaande is de
dimensie weliswaar één lager, maar dit doet aan
het voorbeeld niets af. Men zoekt aan de hand
van een aantal bekende punten (X^Yj) de
eerstegraads functie tussen Y en X, zoals in
formules (1) het lineaire verband tussen x(2) en
xd),y(i) en tussen y(2) en xd),y(i). Men bere
kent de onbekenden a en b van de lijn Y
aX b zodanig dat de som van de kwadra-
221
