S
cos a
aA COS V
cpt A<f
breedte-interval A<p. In de kleine vlakke drie
hoek P0 PP, geldt nu:
AX cos <p
a= A<P
hetgeen langs de gehele loxodroom moet gel
den. Deze vergelijking kan men ook schrijven
als:
A <p
COS lp'
A X tga
Als men nu de stukjes A X en A¥> oneindig klein
maakt, verkrijgt men de differentiaalvergelijking
van de loxodroom:
dX tga
a COSy
Dit opgelost door middel van de integraalreke
ning geeft:
X tga.In tg (45 yhip)
Vult men nu voor X en V de waarden van een
vast punt P0 in en trekt deze af van de vorige
vergelijking, die voor elk willekeurig punt van de
loxodroom geldt, dan vindt men:
AX X X0 tga [In tg (45 1/2ip) In tg
(45 V2V0)] (4)
AX
*9 a In tg (45 V2 ip) In tg (45 V2<p0),
waaruit de koershoek tussen twee punten P0 en
P is te berekenen.
Wil men een loxodroom in de kaart als een
rechte lijn afbeelden en bovendien een vaste
koershoek behouden, dan wordt deze loxo
droom in het platte vlak voorgesteld door de
vergelijking van een rechte door een punt met
een bekende richtingscoëfficiënt:
y y, tg (90 (x x,)
Om de koershoek te behouden, moeten de me
ridianen evenwijdige rechten zijn, want anders
kan een willekeurige rechte deze meridianen
niet steeds onder eenzelfde hoek snijden.
Het vaste punt P0 kan men op de evenaar (op de
x-as) aannemen. Hierdoor wordt y, 0. De
koershoek is
tAX
9 a In tg (45 ^/ztp) In tg (45 1 2 ^0)
Voor het geval, dat het vaste punt op de eve
naar zelf ligt (y0 0)
1 In tq (45 V2ip)
-cotga a"xr
tga a AX
Als men deze waarde in de lijnvergelijking in
vult, krijgt men (x x, AX
y In tg (45 ^hip).
Dit is identiek aan de afbeeldingsformule van de
Mercatorprojectie. In deze projectie wordt de
loxodroom dus als een rechte lijn afgebeeld.
Wil men voor een andere projectie het verloop
van de loxodroom puntsgewijs berekenen, dan
neemt men een reeks van waarden voor <p,
waarbij men dan de bijbehorende waarde van X
kan berekenen. Verder interesseert men zich in
de lengte van de loxodroom tussen twee pun
ten. Uit de kleine driehoek P0PPi kan men direct
de lengte van het loxodroom-interval P0P A S
herleiden op:
AS
cos a
Als de driehoek oneindig klein wordt, dan gaat
de formule over in:
dip
cosa
Met behulp van de integraalrekening verkrijgt
men de lengte van een bepaald stuk van de
loxodroom
dS
(5)
ip—ipo is het breedteverschil van het eindpunt
en het beginpunt van het te berekenen loxo-
droomstuk, dat men met A<Paanduidt.
Tussen verschillende punten op aarde zal nu het
verloop van de loxodroom en diens afwijking
ten opzichte van de kortste afstand berekend
worden. Hierbij worden diverse gevallen in be
schouwing genomen en wel de loxodroom:
a. tussen twee willekeurige punten op aarde;
b. tussen twee punten op aarde, waarbij de
kortste afstand over de pool loopt;
c. tussen twee punten, die aan weerskanten
van de evenaar liggen. (Zie figuur 3).
Ad a: Berekening van de loxodroom en de or-
thodroom tussen twee willekeurige punten op
aarde, bijvoorbeeld tussen Amsterdam en Tokio.
De gegeven coördinaten van deze twee steden
zijn ontleend aan de Bosatlas:
Amsterdam: <P 52,3°, X 4,8°;
Tokio: <P 35,7°, X= 139,8°.
De aardstraal is gesteld op 6378,388 km.
130
