X°
Vx2 y2
\Aê~T
De lengte van de loxocroom is:
S cos 133,22° TM 6378'388
12636 km
De lengte van de orthodroom is:
cos sin 40,8° sin —34° cos 40,8°
cos —34° cos 92,4°
5 113,06°
De kortste afstand tussen New York en Kaap
stad is:
6378,388 x 113,06 x 12586 km.
Het azimuth van de orthodroom is:
cos —34° sin 92,4°
sin 113,06°
a 115,81°.
De afwijking loxodroom orthodroom 50
km 0,4%.
De tussenpunten van de orthodroom worden
weer met een interval van A\ 7,5° met de
formules (3) berekend:
sin a
<p°
x (cm)
y (cm)
40,8
-74
-8,1
4,9
38,1
-67,5
-7,4
4,5
34,3
-60
-6,6
4,0
29,6
-52,5
-5,7
3,4
24,0
-45
-4,9
2,7
17,4
-37,5
-4,1
1,9
10,0
-30
-3,3
1,1
2,1
-22,5
-2,5
0,2
- 5,9
-15
-1,6
-0,6
-13,6
- 7,5
-0,8
-1,5
-20,6
0
0
-2,3
-26,8
7,5
0,8
-3,0
-32,0
15
1,6
-3,7
-34,0
18,4
2,0
-4,0
Vervormingen
Men kan de vervormingen van een land of van
een lijn, die zich over een groot gedeelte van de
kaart uitstrekken, bestuderen. Dit land of deze
lijn wordt daartoe in een groot aantal stukjes
verdeeld, waarna de vervorming van elk onder
deel wordt bekeken. Dit opdelen gebeurt mees
tal intuïtief. Wanneer men de afbeelding in de
Mercatorprojectie bekijkt, valt het op dat de
schaal van een land op hogere breedte veel
groter is dan van een land bij de evenaar.
Men beschouwt dus altijd vervormingen van
kleine stukjes van de kaart en vergelijkt deze
met vervormingen in andere delen van de kaart.
Ditzelfde doet men bij een meer preciese bestu
dering van de vervormingen.
Hoe wordt een klein gebiedje op de bol afge
beeld in de kaart? Hiervoor nemen we de meest
eenvoudige vorm van een gebiedje, namelijk
een cirkel. Dit cirkelvormig gebiedje zal in de
kaart in het algemeen niet meer cirkelvormig zijn
maar uitgerekt of ingekrompen in een bepaalde
richting. Hierdoor verandert de cirkel in een el-
lipsje. De vorm van dit ellipsje is karakteristiek
voor de vervorming van het gebied in de kaart.
De assen van de ellips zijn bepalend voor de ver
vorming in een bepaalde richting. Het geeft dus
aan in welke richting het gebied het meest is uit
gerekt en tevens geeft de verhouding tussen het
oppervlak van de ellips en het oppervlak van de
oorspronkelijke cirkel op de bol aan hoe groot
de oppervlaktevervorming is. De assen van de
ellips zijn te berekenen uit de formules die aan
de projectie ten grondslag liggen en wel door
deze formules te differentiëren, dat wil zeggen
een oneindig klein gebied in beschouwing te
nemen.
Het ellipsje kan men voor elk gebied van de
kaart berekenen en tekenen. Door ze met elkaar
te vergelijken krijgt men een indruk van het ver
loop van de vervorming. Het ellipsje wordt ge
noemd naar de Fransman, die het het eerst
heeft onderzocht en heet „indicatrix van
Tissot".
De vervorming kan men in drie onderdelen split
sen:
1. lineaire vervorming: dit is de vergroting of
verkleining van een lijnstuk na afbeelding in
een bepaalde projectie;
2. hoekvervorming: dit is de verandering die
een hoek ondergaat na afbeelding in een be
paalde projectie;
3. Oppervlaktevervormingdit is de verandering
die de grootte van het oppervlak van een ge
bied ondergaat bij afbeelding in een bepaal
de projectie.
Deze drie aspecten zullen toegelicht worden
aan de hand van de indicatrix van Tissot. (Zie
figuur 8 en 9).
Wiskundig kan men de vervorming van een
cirkel (met straal 1) tot een ellips beschrijven
met een transformatie:
X ax
Y by
Ad 1: lineaire vervorming
Het lijnstuk OP gaat na projectie over in O'P1.
De lengte OP Vx2 y2
en O1?1 VX2 Y2 \/a2x2 b2y2.
De hoek van de lijn OP met de y-as is a
x y
sin a
en cos a
De vergroting wordt in het algemeen aangeduid
met M en deze is afhankelijk van de hoek a.
132
