V-
Ma
Vx2 y2
VX2 Y2
cos a
O'P1
OP
Va2x2 b2y2
x2 y2
b2
x2 y2
of
Ma =Va2sin2a 4- b2cos2a
De lineaire vervorming is in feite niets anders
dan de schaal van de afbeelding.
Ad2: hoekvervorming
Uit de figuren zien we dat de hoek met de y-as,
a op de bol, overgaat in een hoek A in de kaart.
Het verschil tussen de hoeken a en A kan als
volgt worden berekend:
sin A -
cos A
V*2 Y2
ax
a
Ma \/x2 y2
M a
Y
by
b
sin a
Ma Vx2 y2
M,
Y-as
X-as
Fig. 8.
Y
a
X p-
A
0
b
X-as
dus M a a^ b^
sin A cos A
of a cos A sin a b sin A cos a
a sin (A a sin (A a
b sin (A a sin (A a
(a b) sin (A a(a b) sin (A a
a b
of sin (A-a)
a b
sin (A a)
Fig. 9.
De maximale hoekvorming, die meestal W wordt
genoemd, treedt op als sin A a1 en is dus
sin W
a b
Ad3: oppervlaktevervorming
Het oppervlak van een cirkel is it daar we
voor de cirkel de eenheidsstraal 1 gekozen
hebben. Het oppervlak van een ellips is 7rab.
De vervorming van het oppervlak is dus:
oppervlak ellips 7rab
oppervlak cirkel w
Aan de hand van deze formules voor de vervor
mingen kunnen we nu voor de Mercatorprojec-
tie enige conclusies trekken.
De Mercatorprojectie behoort tot de conforme
projecties, die hoekgetrouw zijn en hiervoor
geldt, dat a A en dus sin (A a) 0.
Volgens de formule voor de hoekvervorming
moet dan ook (a b) 0 zijn, dus a b.
Dit betekent, dat de ellipsjes van Tissot cirkels
worden met de straal a. De lineaire vervorming
wordt dan ook veel eenvoudiger, namelijk de
verhouding van de stralen van de cirkel op de
bol en de afbeelding hiervan in het platte vlak.
Daar de cirkel op de bol de eenheidsstraal heeft,
is de lineaire vergroting dus M a. Dit volgt
ook uit de formule voor de lineaire vervorming
door a b in te vullen. De lineaire vergroting is
voor conforme projecties onafhankelijk van de
richting a en in alle richtingen hetzelfde. Met
andere woorden de kaart heeft in elk punt een
vaste schaal M, onafhankelijk van de richting,
maar wel verschillend in de verschillende delen
van de kaart. Bij de Mercatorprojectie wordt de
schaal groter naar de polen toe en wel in de
reden sec <p.
Deze eigenschap geeft de mogelijkheid om vrij
eenvoudig afstanden en oppervlakken uit de
kaart te kunnen meten. De afgepaste maat tus
sen twee punten moet dan worden herleid tot
de plaatselijke schaal van het midden van deze
twee punten. Dit wil zeggen dat de gevonden
waarde voor de afstand moet worden gedeeld
door de cosinus van de gemiddelde breedte van
de twee punten. Ook dient de verkregen uit-
133
