-cos a
W+b2
dan gaat de vergelijking over in
\a2 b2 Va^+b2 WTb2
cos a T~5
De enige toelaatbare oplossing van de vergelij
king blijkt te zijn x BD 28.3061.
Tenslotte nog een rechtstreekse methode met
behulp van de goniometrie. Om de te gebruiken
formules hanteerbaar te houden, gebruik ik
letters voor de hoeken en zijden van de vierhoek
en noem ik de oppervlakte van ABCD weer G.
Nu gelden de betrekkingen:
2G ps sin a+ qr sin 7
(1)
p2 s2 2ps cos a q2 r2 2 qr cos 7 (2)
Kwadratering en vermenigvuldiging met 4 van
(1) geeft:
16G2 4p2s2sin2 a 8 pqrs sin a sin 7
4q2r2sin2 7 (3)
en uit (2) volgt, eveneens na kwadratering:
(4)
(5)
(6)
(p2 s2—q2 r2)2 4p2s2cos2
8 pqrs cosacos 7 4q2r2cos2 7
Optelling van (3) en (4) geeft dan
16G2 (p2 s2—q2—r2)2 4p2s2 4q2r2 -
8pqrs cos a+ 7)
omdat sin2a cos2«= 1
sin2 7+ cos2 7= 1
cosacos)' sinasin 7= cos (a 7
Uit (5) volgt
cos et y
4p2s24q2r2 - 16G2 - (p2 s2-q2-r
8 pqrs
Substitutie van p 26.62; q 21.18; r
23.07; s 23.39 en G 530 levert op
cos a 7—0.848118,
dus a+ y 164.4528 of 235.5472.
Stellen we a y t dan is dus y t a en
substitutie hiervan in (1) geeft
2G pssina-f qrsin (t a)
ps sin a qr (sin t cos a— cos t sina)
(ps qr cos t) sina qr sin t cosa
Dit is een vergelijking in a van de vorm
a sin a b cos a 2G.
De oplossing van een dergelijke vergelijking kan
worden gevonden door links en rechts te delen
door yj a2 b2:
-sin a +-
2G
Stel nu cos <p en
2G
cos <p sin a sin cp cos a
sin cpt
"^a2 b2
2g b
waarbij tg<p
dus sin a cp
\a2 b2 a
In ons geval is G 530; a ps qrcos t en
b qr sin t.
Voor t 235.5472 vinden we voor a twee op
lossingen, die echter beide niet voldoen aan de
eis a is scherp.
Voort 164.4528 zijn de oplossingen
a, 76.2173 dus 7, 88.2355 en
a2 92.6357 dus 72 71.8171.
De tweede oplossing blijkt niet aan de met (2)
aangegeven betrekking te voldoen. De oplos
sing is dus a 76.2173.
Opgave 7b
Eén van de inzenders, n.l. de heer C. M. Groo-
tendorst, heeft een rechtstreekse oplossing ge
vonden door uit te gaan van een eigenschap
van vierhoeken, die als volgt geformuleerd kan
worden:
De oppervlakte van een vierhoek, waarvan de
zijden gegeven zijn, is maximaal als deze vier
hoek een koorden vierhoek is.
Omdat dus y 200 a is cos y cos a
en de bij de uitwerking van opgave 7b al ge
bruikte formule (2) gaat over in
p2 s2 2ps cos a q2 r2+ 2qr cos a dus
p2 s2—q2—r2
2ps 2qr
Dit levert op a 92.1056 dus y 107.8944.
De oppervlakte van ABCD is in dit geval G
551.3656.
Dat de gebruikte eigenschap inderdaad geldt is
in te zien als we nog even terugkomen op de al
eerder gevonden formule (5), die in een iets
andere vorm luidt:
16G2 4p2s2 4q2r2 (p2 s2 q2 r2)2
8pqrs cos a+ y).
p, q, r en s zijn vaste getallen, dus de opper
vlakte hangt alleen nog af van a 7 en is maxi
maal als cos a+ 7) 1 dus als a+ 7 200.
Dit probleem kan ook worden opgelost met
behulp van de differentiaalrekening, zoals de
heer J. H. van Oogen met succes doet. Hij be
paalt de oppervlakte als funktie van x BD,
dus G f (x) en gaat dan na voor welke waarde
x geldt f' (x) 0. Dit levert op x BD
33.1918 en vervolgens a 92.1059.
Uiteraard kan ook hier een iteratieve methode
worden toegepast. We zullen dit laten zien door
259
