landmeetkundige
opgaven
3
r.
Opgave 8
Zie voor de opgave Geodesia van juli/augustus
1979, blz. 260.
Deze opgave heeft naar het schijnt weinig pro
blemen opgeleverd. Belangrijk is om het juiste
begin te vinden. Bij nadere beschouwing van de
opgave blijkt dat eerst de coördinaten van M2
(zie de schets) moeten worden berekend. Dit
punt M2 ligt meetkundig vast als het snijpunt
van een lijn op een afstand van 285 meter even
wijdig aan CD en de cirkel met middelpunt P en
straal 205 meter. Een dergelijke snijding tussen
een lijn en een cirkel wordt wel een dubbelzin
nige snijding genoemd, omdat er twee snijpun
ten zijn.
>P
De berekening van de coördinaten van punt M2
kan plaatsvinden door gebruik te maken van
vergelijkingen, zoals een enkele inzender doet.
De meeste inzenders lossen dit probleem op een
meer meetkundige manier op.
De afstand van P tot CD is te berekenen uit de
coördinaten van C, D en P. Deze afstand is
101.502, dus de afstand van P tot is 285
101.502 183.498. Als F nu de projectie van P
op is en de hoek tussen PF en PM2 dan
geldt:
cos a 183.498 205 dus
a, _29.4191en a 2 270.5809.
Uit PM2 CD - 100 a 285.7730 a
volgt nu:
PM2,315.1921 en PM2,2 256.3539.
De coördinaten van M2 kunnen dan met argu
ment en afstand (205) vanuit P worden bere
kend. Dit levert op:
M21: x 4900.809; y 9198.458
M„: x 4941.321y 9020.208
In een volgende fase van de berekening blijkt
dat M2 2 niet voldoet.
'2.1
«tr- p "n
.V°4/
Het punt M3 is nu ook te berekenen. Bekend is
namelijk dat M2T3 205 en M3T3 130 dus
M2M3 75, want deze drie punten liggen op
één lijn. (Zowel M2T3 als M3T3 staan loodrecht
op de gemeenschappelijke raaklijn in T3). Verder
ligt M3 op 130 meter afstand van de lijn door B
en T4. De coördinaten van M3 kunnen dus op
dezelfde manier als die van M2 worden bere
kend. Het punt M22 blijkt nu te dicht bij de lijn
door B en T4 te liggen, n.l. op 22.8 m. Hieruit
zou volgen M2M3 130 22.8 107.2 terwijl
gegeven is M2M3 75. De coördinaten van M2
zijn dus eenduidig bepaald.
419
