in aanraking met de geodynamica.
Een belangrijk praktisch aspect van de recente ontwik
kelingen in de geodynamica is het onderzoek naar de
mogelijkheid aardbevingen te voorspellen. Dit vereist
de bepaling van de variaties, in ruimte en tijd, van de
relatieve verplaatsing van punten in gebieden waar tec-
tonische deformatie optreedt. De bepaling van de span-
ningstensor door middel van geodetische technieken is
nu een zeer belangrijk onderwerp.
Doordat tegenwoordig de precisie en de betrouwbaar
heid van metingen zo hoog zijn opgevoerd, moeten
wiskundige modellen met uiterste strengheid worden
ontwikkeld. Alleen als wij weten hoe wij de verschillen
de methoden van de wiskunde moeten gebruiken, zul
len wij in staat zijn de juiste keuze uit het beschikbare
wiskundige gereedschap te doen. Maar wij moeten
daarbij in het oog houden dat de waarde van een wis
kundig model, als gereedschap om tot verantwoorde
beslissingen te komen, afhankelijk is van de inschake
lingsredenering die het model aan de ervaringswereld
koppelt.
2. Vereffeningsmodellen
Het Tweede Standaardvraagstuk (met correctievergelij
kingen) wordt tegenwoordig veel meer gebruikt voor
vereffeningen dan het Eerste Standaardvraagstuk (met
voorwaardevergelijkingen).
De afleiding van correctievergelijkingen is in veel geval
len gemakkelijker dan het opstellen van voorwaardever
gelijkingen. Alleen indien zowel correctie- als voor
waardevergelijkingen zijn afgeleid, kan het (functionele)
vereffeningsmodel onafhankelijk worden gecontro
leerd.
Dit feit verdient veel meer aandacht dan er tot dusver
aan werd geschonken, in het bijzonder bij de vereffe
ning van driedimensionele netwerken, waarbij alle mo
gelijke soorten waarnemingen worden gebruikt, zoals
men doet in de z.g. operationele opzet van de geodesie
[Grafarend, 1978; Moritz, 1979],
Het is buiten kijf dat het Tweede Standaardvraagstuk
voordelen heeft bij het opstellen van de correctieverge
lijkingen en bij de berekening van de covariantiematrix
van de onbekenden.
Er doet zich een probleem voor als er van de onbeken
den een aantal niet kunnen worden bepaald. In dit geval
zijn de normaalvergelijkingen singulier, wat meestal
wordt veroorzaakt door een „onjuiste" definitie van de
onbekenden. Deze moeilijkheden kunnen bij het Eerste
Standaardvraagstuk niet voorkomen! Maar bij het te
genwoordig zo algemene gebruik van het Tweede
Standaardvraagstuk is het mogelijk singulariteitspro-
blemen bevredigend op te lossen door de toepassing
van gegeneraliseerde matrixinversen en van de S-
(Schrankings)-transformaties van Baarda [Baarda,
1973],
Methoden met gegeneraliseerde matrixinversen zijn
o.a. afkomstig uit de mathematische statistiek en in de
geodesie ingevoerd door een van de grondleggers van
de desbetreffende theorie, Bjerhammar [Bjerhammar,
1973].
3. Vereffening van vrije netwerken
Een vrij netwerk is een netwerk waarvan de coördinaten
in een lokaal coördinatenstelsel kunnen worden bere
kend, bijvoorbeeld in het tweedimensionele geval door
de coördinaten van twee punten aan te nemen. Dit
200
coördinatenstelsel komt overeen met een S-stelsel, een
begrip dat werd ingevoerd door Baarda [1973]. De
coördinaten, zowel als hun covariantiematrix, hangen af
van dit S-stelsel.
Als men een vrij netwerk met het Tweede Standaard
vraagstuk vereffent en daarbij de coördinaten van alle
punten als onbekenden invoert, krijgt men een singulier
stel normaalvergelijkingen. Om een oplossing voor dit
singuliere stelsel te krijgen, heeft P. Meissl zijn befaam
de theorie van de „innere Genauigkeit" ontwikkeld
[Meissl, 1962,1965,1969].
Door de bijdragen van E. Mittermayer is het algemeen
bekend, dat een identieke oplossing wordt verkregen als
men eist dat de norm van de vector der coördinaatonbe
kenden minimaal is; in dit geval blijkt de covariantie
matrix van de coördinaten de unieke pseudo-inverse
(ofwel de Moore-Penrose inverse) van de singuliere ma
trix der normaalvergelijkingen te zijn [Mittermayer,
1971,1972 a, b].
Het spoor van deze pseudo-inverse (d.w.z. de som der
diagonaalelementen) is minimaal: alle andere moge
lijke covariantiematrices, die bij operationeel gedefi
nieerde coördinaatgrootheden horen, hebben een
groter spoor. Dit minimale spoor van de genoemde
unieke matrix, die behoort bij de z.g. „inwendige coör
dinatie", kan worden beschouwd als een eenduidige
voorstelling van de precisie van een netwerk. Men kan
het een „globale precisiemaat" van de coördinaten
noemen („durchschnittliche Varianz") [Grafarend et al,
1979]. Maar er moet worden opgemerkt dat matrices die
hetzelfde spoor hebben, heel verschillend kunnen zijn
[Alberda, 1980],
Het spoor kan worden gebruikt als een criterium voor
het vergelijken van verschillende ontwerpen voor een
netwerk. Deze scalaire precisiemaat is echter nogal een
grove karakteristiek voor een covariantiematrix, omdat
de correlatie tussen de coördinaten daarbij niet wordt
onderzocht. Andere globale precisiematen in de vorm
van één getal zijn door Grafarend genoemd [1979],
maar ze zijn eveneens moeilijk als een absoluut crite
rium te gebruiken.
Een betere precisiemaat voor een vrij netwerk verkrijgt
men met behulp van criteriummatrices. De berekende
covariantiematrix van de coördinaten van een gemeten
of ontworpen netwerk kan worden vergeleken met een
criteriummatrix, mits laatstgenoemde matrix in het
zelfde S-stelsel wordt opgesteld [Baarda, 1973]. Uiter
aard kan dit het S-stelsel van de „inwendige coördina
ten" zijn, maar dit is niet noodzakelijk.
Het grootste voordeel van de vergelijking met behulp
van criteriummatrices is, dat men onafhankelijk is van
de keuze van het S-stelsel, omdat men in feite „schatba-
re grootheden" vergelijkt. Deze benadering wordt sterk
voorgestaan door Baarda.
De „inwendige coördinaten" kunnen worden be
schouwd als de oplossing van het type „minimum norm
kleinste-kwadraten oplossing". Ze worden veelvuldig
toegepast.
Een methode om de pseudo-inverse van de singuliere
matrix der normaalvergelijkingen te bepalen, is het ge
bruik van de zogenaamde „oplossingenruimte" (solu
tion space) van de matrix der normaalvergelijkingen,
d.w.z. de „nulruimte" (null space) van die matrix. Deze
„nulruimte" is in het geval van geodetische netwerken
gemakkelijk op te stellen.
Bepaalde (gegeneraliseerde) inversen van de singuliere
NGT GEODESIA 82
