matrix der normaalvergelijkingen kunnen ook worden
berekend door extra voorwaarden aan de onbekenden
op te leggen, die juist voldoende zijn om een eenduidige
oplossing te verkrijgen [Koch, 1980, Pelzer, 1980], Ver
schillende voorwaarden leiden tot verschillende oplos
singen, die kunnen worden gekarakteriseerd door ver
schillende gegeneraliseerde inversen van de singuliere
matrix der normaalvergelijkingen:
De definitie van een S-stelsel legt de voorwaarden vast,
die aan de onbekenden worden opgelegd (bijv. in een
tweedimensioneel vrij netwerk legt men de coördinaten
van twee punten vast). Zulke oplossingen met opgeleg
de voorwaarden noemt men vaak onzuivere oplossin
gen (biased solutions); de onzuiverheid komt van de
willekeurige keuze van de voorwaarden.
De voorwaarden die tot de „inwendige coördinaten"
leiden, zijn al in 1944 door Baarda gevonden en voor het
eerst gebruikt in de HTW 1956. Het is echter pas onlangs
aangetoond dat de theorie van de „innere Genauigkeit"
van Meissl identiek is met de opzet van Baarda. Het
verband tussen de toepassing van gegeneraliseerde in
versen en de S-transformaties van Baarda is nu opge
helderd [Mierlo, 1980].
In de geodetische literatuur duidt men het geval van
singuliere normaalvergelijkingen vaak aan als een „da
tum probleem" [Grafarend, 1982], ofwel volgens Gra
farend „het nulde-orde ontwerpprobleem" [Grafarend
et al, 1979],
Er is onderzoek gaande naar alternatieve oplossingen
van singuliere normaalvergelijkingen. Hierbij maakt
men gebruik van diverse normen van de vector der
onbekenden. De gekozen norm wordt geminimaliseerd
na uitvoering van de kleinste-kwadratenprocedure
[Fritsch en Schaffrin, 1981], Verder onderzoek zal nodig
zijn om dit probleem op een overtuigende wijze op te
lossen.
4. Het toetsen van hypothesen
Tegenwoordig wordt voldoende aandacht besteed aan
het praktische probleem van het zoeken naar „uitbij-
ters", (grove) fouten in de metingen. Immers, wij kun
nen nooit helemaal uitsluiten dat een waarneming is
vervalst door een of andere blunder of (grove) fout.
Fouten die niet worden gevonden, of zelfs principieel
niet kunnen worden gevonden, resulteren in onbe
trouwbare coördinaten.
Een maat voor de betrouwbaarheid van een geodetisch
netwerk hangt af van de manier waarop de modelrela
ties worden getoetst en van het onderscheidingsvermo
gen van de gebruikte toets. Verreweg de meest ge
bruikte alternatieve hypothesen in de geodetische prak
tijk zijn verschuivingen in de midwaarden, ofwei alter
natieve hypothesen van het type „slippage".
Als we te maken hebben met een uitbijter die het gevolg
is van een mogelijke verschuiving in de midwaarde van
slechts één waarnemingsgrootheid, dan hebben we het
geval van een conventionele alternatieve hypothese
volgens Baarda. De toets tegen deze hypothese leidt tot
de berekening van een grenswaarde of „marginaal
vindbare fout", d.w.z. de fout die met een tevoren vast
gestelde kans kan worden gevonden [Baarda, 1968;
Kok at all, 1980],
De invloed van deze fout op de coördinaten hangt af van
het S-stelsel (d.w.z. de als vast aangenomen basispun
ten), en is daarom ongeschikt als maat voor de be
trouwbaarheid. Baarda [1977] heeft een maat voor de
betrouwbaarheid van geodetische netwerken inge
voerd, die onafhankelijk is van het S-stelsel. Deze maat
is geheel gebaseerd op conventionele hypothesen, wat
wellicht de enige mogelijkheid is voor netwerken in de
praktijk.
Als er meer dan één (grove) fout voorkomt, is de ont
wikkelde rekenwijze voor het aanwijzen van fouten in
principe niet van toepassing. Maar men weet nu een
maal niet hoeveel fouten er zijn gemaakt, en de reken
wijze wordt daarom toch toegepast.
De laatste tijd onderzoekt men in de geodetische praktijk
z.g. „robuuste" toetsprocedures, die hopelijk een betere
beveiliging tegen meer dan één (grove) fout geven
[Huber, 1981; Krarup, 1980].
Na een eerste opschoning van de gegevens met zo'n
robuuste procedure kan het gebruikelijke klassieke fou-
tenzoeken worden toegepast. Tot op heden verdienen
de kleinste-kwadratenschatters de voorkeur boven ro
buuste schatters.
Door de specificatie van een alternatieve hypothese, die
inhoudt dat twee of meer (grove) fouten voorkomen,
bijv. fouten in de coördinaten van een of meer gegeven
punten van een verdichtingsnetwerk, kan men een toet
singsgrootheid afleiden die is gericht op deze alterna
tieve hypothese. De toetsingsgrootheid bij het fouten
zoeken volgens Baarda is een bijzonder geval hiervan
[Mierlo, 1981]. Nader onderzoek naar een maat voor de
betrouwbaarheid, die met deze toets samenhangt, is
echter nog nodig [Förstner, 1980],
5.1 Uit steekproeven geschatte covariantiematrices
In het geval dat een geodetisch netwerk meer dan eens
wordt gemeten, kan men zich afvragen of de covarian-
tiematrix van de waarnemingen samen met de coördi
naten kan worden geschat. In dit geval kan men veref
fening met de z.g. methode van de multivariate analyse
toepassen, met toetsen gebaseerd op de Wishart-verde
ling. De Wishart-verdeling is een generalisatie van de
Chi-kwadraat verdeling. Het multivariate model voor p
herhaalde waarnemingen is:
Axj E (l|) met C (Ij, Ij) öjjQ; i, j 1p.
Q is een gegeven n x n matrix, Gjj zijn de onbekende
varianties en covarianties.
Netwerken die zijn ontworpen om bijv. aardkorstbewe
gingen vast te stellen, worden altijd gemeten volgens
hetzelfde herhaalde schema. In dat geval kan het multi
variate model worden gebruikt [Koch, 1980]. In het geval
dat het meetschema niet voor alle tijdstippen hetzelfde
is, kan ook een oplossing worden gevonden [Schaffrin,
1981],
Helaas zijn geschatte covariantiematrices uiterst gevoe
lig voor uitbijters [Huber, 1981]. Met dit probleem is niet
volledig rekening gehouden bij de toepassing van het
multivariate model. Bovendien moet de structuur van
de covariantiematrix zelf nader worden onderzocht om
resultaten te verkrijgen, waaraan een fysische interpre
tatie kan worden gegeven.
5.2 Schatting van variantie- en covariantiecomponen-
ten
Dit onderwerp als onderdeel van de vereffeningstech
niek staat de laatste tien jaar in het middelpunt van de
belangstelling van onderzoekers. Het model met onbe
kende variantie- en covariantiecomponenten wordt ge
geven door:
NGT GEODESIA 82
201
