Ax E (I) met covariantiematrix
C (I)
Q1( Oi( 2 Q1( 2
®1, 2 ^2, 1 ^2 ^2, 2
D,,kQk,i °2, kQk,2
®i, k ^1, k
®2, k Qi, k
ak Qk, k
waarin öj2 de variantiecomponenten aanduidt en Oy de
covariantiecomponenten. De matrices Qjy worden be
kend ondersteld. De schatting van variantiecomponen
ten gaat terug op Helmert [1924, p. 358], terwijl de schat
ting van variantie- en covariantiecomponenten voor ge
odetische doeleinden kort geleden is voorgesteld door
Grafarend, Schaffrin [1979] en Koch [1981].
Een van de belangrijkste toepassingen voor geodeti
sche netwerken is de schatting van de verhouding van
varianties voor verschillende soorten waarnemingen,
zoals hoeken en afstanden. Een ander voorbeeld is de
schatting van de verhouding van varianties voor waar
nemingen van dezelfde soort, die verschillende varian
ties in verschillende delen van het netwerk hebben.
Grafarend [1981] heeft een uitstekend overzichtsartikel
over dit schattingsprobleem geschreven, waarin hij ver
klaart: „Ongetwijfeld is de simultane schatting van de
onbekende parameters en de variantie- en covariantie
componenten het idee van de toekomst". Verder onder
zoek naar de betrouwbaarheid van deze schattingen is
nodig, omdat de gevoeligheid voor onontdekte (grove)
fouten nog niet is onderzocht.
6. Tweede-orde ontwerp of gewichtsoptimalisering
Het ontwerpen van een geodetisch netwerk, dat aan een
gegeven stel criteria (specificaties) moet voldoen, kan
aanleiding geven tot drie verschillende soorten van ont
werpproblemen [Grafarend, 1979].
In het eerste-orde ontwerpprobleem is de nagestreefde
covariantiematrix van de coördinaten (de criteriumma-
trix) bekend, evenals de covariantiematrix van de waar
nemingen. Het probleem is, te bepalen welke meetkun
dige combinaties van waarnemingen (ontwerpmatrix)
de oplossing van het probleem zullen leveren: dit is de
optimalisering van de configuratie van het netwerk.
Het derde-orde ontwerpprobleem is de optimale ver
dichting of verbetering van een bestaand netwerk. Dit
komt vooral voor bij de verdichting van netwerken in
zwakke netgedeelten door punten en waarnemingen
toe te voegen. Een mengeling van eerste- en derde-orde
ontwerp wordt in Nederland toegepast, nl. het ontwer
pen van verdichtingsnetwerken, die door successieve
lijk verbeteren en analyseren worden geoptimaliseerd
naar precisie en betrouwbaarheid.
Het tweede-orde ontwerp van netwerken betekent het
bepalen van een optimaal schema voor de uitvoering
van de metingen. De ontwerpmatrix, d.w.z. de configu
ratie van het net, is gegeven, evenals de criteriumma-
trix.
Men tracht nu de covariantiematrix van de waarnemin
gen zo te kiezen, dat de covariantiematrix der coördina
ten gelijk wordt aan de criteriummatrix. In netwerken
voor speciale doeleinden wordt meestal een scalaire
doelfunctie geminimaliseerd (of gemaximaliseerd)
[Wolf, 1968; Grafarend, 1979],
In Nederland heeft het tweede-orde ontwerpprobleem,
terecht of ten onrechte, weinig aandacht gekregen. Het
is ook bekend onder de naam van gewichtsoptimalise
ring. Bij de rekenwijzen voor de oplossing van dit pro
bleem wordt er meestal van uitgegaan dat alle waarne
mingen onderling niet correleren. De fundamentele on
derstelling is, dat het gemiddelde van metingen van
dezelfde grootheid een variantie heeft die n maal zo
klein is als de variantie van een enkele meting. Men
moet geen onbeperkt vertrouwen hebben in deze ver
kleining van de variantie.
In het geval van een groot aantal herhalingsmetingen is
het zeer waarschijnlijk, dat de fysische omstandigheden
(instrumenten, atmosfeer) voor een sterke correlatie
tussen de waarnemingen zorgen. Daarom zouden de
herhalingsmetingen als sterk correlerend moeten wor
den aangenomen.
De verkleining van de variantie, omgekeerd evenredig
aan het aantal herhalingen, wordt gewoonlijk te opti
mistisch aangenomen. De toepassing van de maximum-
likelihood schattingsmethode bij herhaalde afstandme
tingen heeft variaties aangetoond, die niet mogen wor
den verwaarloosd [Sjöberg, 1980],
Indien men toch correlatievrijheid aanneemt, moet on
der herhalingsmetingen worden verstaan „eerlijke"
herhaling, d.w.z. telkens met een nieuwe opstelling van
instrumenten en signalen op verschillende dagen en
onder verschillende omstandigheden. Aan deze kwestie
is zeer weinig aandacht besteed [Alberda, 1980].
Door de kosten van metingen in een model te beschrij
ven als functie van het aantal herhalingen, kan het
vraagstuk van de gewichtsoptimalisering worden om
gezet in een vraagstuk van kostenoptimalisering [W.
Augath in Pelzer, 1980 en Grafarend, 1979].
De betrouwbaarheid van een netwerk is vaak belangrij
ker dan de precisie. Betrouwbaarheidscriteria hebben
tot dusver nauwelijks aandacht gekregen bij de oplos
sing van het probleem van de gewichtsoptimalisering.
Een opmerkelijk feit is, dat de keuze van een geschikte
criteriummatrix op het ogenblik een van de centrale
problemen is bij het tweede-orde ontwerp. Omdat de
criteriummatrix dezelfde rang moet hebben als de ont
werpmatrix, lijkt men nu het belang van de S-transfor-
maties ten volle te onderkennen.
Ten aanzien van de optimalisering van geodetische net
werken zijn er nog veel onopgeloste problemen. Vanuit
een wiskundig gezichtspunt is het tweede-orde ontwerp
een boeiend probleem, maar gezien vanuit de praktijk
kan men een groot vraagteken zetten bij het koppelen
van de oplossingen met daadwerkelijke waarnemings
procedures. Ik vrees dat de moeilijkheden van het twee
de-orde ontwerp te eenzijdig vanuit de wiskundige hoek
worden bekeken.
Het is te hopen dat het onderzoek betreffende de opti
malisering van netwerken oplossingen levert, die vroeg
of laat in de geodetische praktijk kunnen worden ge
bruikt. Daarbij lijkt het onvermijdelijk dat een koppeling
met de besliskunde wordt gelegd, als de betrouwbaar
heid van het netwerk eveneens in aanmerking wordt
genomen.
7. Slotopmerkingen
Tot dusver is er weinig of geen aandacht besteed aan de
problemen die samenhangen met de berekening van
driedimensionele netwerken of netwerken berekend op
een referentie-ellipsoïde.
Ellipsoïdische berekeningen, de vereffening van ellip-
soïdische netwerken en de theorie van de kaartprojec
ties worden door veel geodeten beschouwd als het
eigenlijke domein van de mathematische geodesie. Het
doel is de berekening van coördinaten, d.w.z. men heeft
202
NGT GEODESIA 82
