ar2
samenvallen met de satellieten. In de praktijk worden
overtallige metingen uitgevoerd.
4.5. Het meten van faseverschillen
De derde methode, gebaseerd op het meten van fase
verschillen, zal in de toekomst waarschijnlijk de meest
nauwkeurige worden.
5. Geocentrische positiebepaling op basis van af
standmeting
5.1. Theoretische oplossing
De oplossing wordt gevonden met behulp van vector
rekening.
Beschouwen we een drierechthoekig assenstelsel, waar
van de oorsprong ligt in het massamiddelpunt van de
aarde 0 (zie fig. 4).
Fig. 4. Waarnemer W met vier satellieten A, B, C en D.
De Z-as is de gemiddelde rotatieas van de aarde.
De X-as is de snijlijn van het gemiddeld evenaarsvlak en
het gemiddeld meridiaanvlak van Greenwich.
De Y-as is naar het oosten gericht, loodrecht op de X-
en Z-as.
W is de plaats van de waarnemer, A, B, C en D zijn vier
satellieten, waarvan de geocentrische coördinaten X, Y,
Z bekend zijn op bepaalde tijdstippen, w is de vector
OW, R de vector WA (voor satelliet A) en d de vector
OA. Men heeft dan als basisvergelijking:
w d - R C
De vector w bevat de drie componenten van de waar
nemer: X Y Z.
De componenten van d zijn bekend door de efemeriden,
van de vector R wordt alleen de modulus bepaald vol
gens de methode die hiervoor werd besproken, als de
satelliet- en ontvangerklokken volledig zijn gesynchroni
seerd. Is i de eenheidsvector gelegen op R, dan heeft
men op basis van het scalar produkt:
i r r (2)
Substitutie in de vorige vergelijking geeft:
i w i d - R (3)
waarin R de theoretische afstand is die echter moet wor
den uitgedrukt als functie van de gemeten afstand Rm.
(4)
R R
c(At -At cAt
w s a
waarin (Atw - Ats) de correctie is op tijdsintervallen
gemeten met de waarnemersklok en de satellietklok ten
NGT GEODESIA 83
gevolge van niet volledige synchronisatie. Ata is het
vertragingsinterval van de elektromagnetische golf als
gevolg van de doorgang in de atmosfeer.
Men verkrijgt aldus twee afstandcorrecties:
c (Atw - Ats) en c Ata
Substitutie van (4) in (3) geeft:
i w - c(At -At i d - R
w s m
cAt
(5)
De vergelijking bevat vier onbekenden: de drie compo
nenten XYZ van w en (Atw - Ats). Het volstaat dus
tenminste vier waarnemingen te doen om de onbeken
den te bepalen.
Vermits (Atw - Ats) kan worden bepaald, is het niet
nodig een zeer geperfectioneerde klok in de waarne
mingsuitrusting in te bouwen. De juiste tijd in de aange
nomen tijdschaal kan immers worden bepaald door de
afgelezen verbeterde waarde van Atw. De waarnemers
uitrusting bevat daarom meestal een kwartsklok of een
voudige cesiumklok.
5.2. Praktische oplossing
Zijn XYZ de geocentrische coördinaten van de waar
nemer.
Zijn XSYSZS de geocentrische coördinaten van de satel
liet. Dan geldt:
R (X-X )2 (Y-Y )2 (S-Z )2~]1* (6)
s s s
R is de theoretische afstand.
Is Rm de gemeten afstand, dan is R Rm ARm
AR cAt - c(At -At
m a w s
Is AR°m een benaderde waarde voor ARm, dan is
AR AR° dR
m m m
Dan is
R R AR° dR
m m m
Zijn X0Y0Z0 benaderde waarden voor XYZ, dan heeft
men ook een benaderde berekende afstand voor R
r (X -x )2
D OS
Stelt men: Rm Rb AR of AR Rm - Rb dan heeft
men ook:
R Rb
In vergelijking (6) kan X, Y, Z worden vervangen door
X0 AX, Y0 AY, Zq AZ en R door de waarde
gegeven in (8).
In de veronderstelling dat tweede orde termen worden
verwaarloosd, verkrijgt men door het groeperen van be
kende en onbekende termen:
2 2 h
(Y-Y (z-z) r
os os
AR AR dR
m m
(7)
(8)
(X -X (Y -Y (Z -Z
-AX AY 2Ë_AZ dR AR (9)
-AR
R, -AR R, -AR R -
b m bm b m
Voor vier waarnemingen verkrijgt men
rll
r!2
ri3
1
AX
AR1
r21
IO
ro
r23
1
AY
r31
r32
r33
1
AZ
AR3
r41
CN
u
r43
1
dR
m
AR4
Stelt men de matrix r^ A
A [Ax Ay Az dRm]T
t (arx ar2 ar3 arJt
Dan is:
-l
A A .t
(10)
159
