V
3. Raaklijnberekening
In het terrein worden de punten op een zodanige wijze
gecodeerd, dat de lijnvorm die in het terrein wordt ge
constateerd, ten behoeve van de berekening wordt vast
gelegd. De te gebruiken codegetallen zijn:
1. Beginpunt van een lijnstring (ketting).
2. Knikpunt in een lijnstring.
3. Overgangspunt van een lijnstring, waarin de raak
lijnen aan de kromme in beide richtingen samenvallen
en de kromtestralen voor èn na het punt verschillend
zijn.
4. Tussenpunt van een lijnstring, waarbij de kromme
voor èn na het punt aan dezelfde continue vergelij
king voldoet.
De methode die wordt toegepast voor de berekening
van raaklijnen in de gemeten punten van een kromme,
is gebaseerd op de veronderstelling, dat men bij de
meting de kromme in stukken verdeelt, die elk voor zich
zoveel mogelijk een cirkelboog zullen benaderen. Voorts
zal in een aantal gevallen de kromme door drie punten
kunnen worden benaderd door één cirkelboog. Zelfs zal
het zo nu en dan voorkomen, dat twee cirkelbogen door
elk drie punten in het gemeenschappelijke punt dezelfde
raaklijn hebben. Bij de berekening van de raaklijnen zal
hiervan gebruik worden gemaakt, omdat wiskundig ge
zien een kromme niet kan worden bepaald door alleen
een willekeurig aantal punten vast te leggen.
De aanname dat de verbindingslijn tussen twee gemeten
punten uit een cirkelboog bestaat, is in de praktijk ook
al niet voldoende. Er is immers slechts één voorwaarde
(overtalligheid) aanwezig bij een kromme, waarvan de
raaklijnen in het begin- en het eindpunt zijn gegeven.
Fouten en toevallige afwijkingen in de coördinaten van
de opgenomen punten worden desastreus voor de rich
ting van de raaklijnen.
Om de hierboven geschetste problemen te voorkomen,
worden hypotheses ingevoerd, die na toetsing op de
juistheid ervan de berekening van een aantal raaklijnen
met voldoende betrouwbaarheid mogelijk maken. Deze
raaklijnen geven bovendien de mogelijkheid betere con
troles in te voeren op de berekening van de resterende
raaklijnen.
De berekening van de raaklijnen gaat als volgt: eerst
worden raaklijnen berekend in die punten waarvoor de
„zwaarste" hypothese bij toetsing wordt geaccepteerd.
Deze hypothese gaat ervan uit, dat in het middelste punt
van een serie van vijf punten achterwaarts èn voor
waarts berekende raaklijnen samenvallen. Bij de tweede
stap wordt aangenomen, dat door drie opeenvolgende
punten in het terrein een cirkelboog ligt. Omdat door drie
punten altijd een cirkelboog is te construeren, worden de
raaklijnen die bij de eerste stap zijn berekend, bij de
toetsing van deze hypothese gebruikt. Bij de derde stap
worden op basis van de hypothese, dat de verbindings
lijn tussen twee punten in ieder geval uit een cirkelboog
bestaat, sluittermen berekend tussen de al berekende
raaklijnen volgens de formule (zie fig. 1):
i
3k 2(pk^i/k 2(p k-2, k -1 (2(pi,i 1 a,)
k-2
Fig. 1.
198
Als bij toetsing blijkt dat de sluitterm aanvaardbaar is,
dan worden op dezelfde wijze als bij de hoekvereffening
van een veelhoek de raaklijnen in de tussenpunten be
rekend. Als een sluitterm te groot is, zal dit zeer waar
schijnlijk een gevolg zijn van een fout in de opname van
een punt. Fig. 2 laat zien wat het effect is van een derge
lijke fout op de richting van de raaklijn.
Fig. 2.
Behalve een foutmelding wordt een- indicatie gegeven
over de meest waarschijnlijke plaats waar de fout is ge
maakt. Naast een proeftekening kan dit van dienst zijn
bij het opsporen en verbeteren van een fout. Het algo-
rithme voor het lokaliseren van de fout gaat na, waar
nieuwe buigpunten gaan optreden, als de te grote sluit
term wordt vereffend. Omdat buigpunten bij de meting
nooit worden overgeslagen, is hieraan een indicatie te
ontlenen over de plaats waar de fout is gemaakt.
4. Bepaling van een kromme bestaande uit twee
cirkelbogen, wanneer behalve twee punten ook
de raaklijnen aan de kromme in deze punten zijn
gegeven
In fig. 3 zijn Z1 en Z2 punten waarvan de coördinaten be
kend zijn. De argumenten van de raaklijnen in deze pun
ten zijn a1 en a2. In beginsel zijn oneindig veel krommen
te bepalen, die door Z1 en Z2 gaan, en waarvan de raak
lijnen in deze punten samenvallen met a1 en a2. Ook
wanneer als eis wordt gesteld, dat de kromme moet be
staan uit twee aansluitende cirkelbogen, blijft het aantal
mogelijkheden oneindig. Het is dus mogelijk een voor
waarde aan de cirkelbogen op te leggen. Een van de
meest logische voorwaarden is dan, dat het verschil tus
sen de krommingen van de beide cirkelbogen zo klein
mogelijk is.
Uit de hiernavolgende afleiding zal blijken, dat met deze
voorwaarde één oplossing wordt bereikt. Bij de afleiding
van de formules wordt gebruik gemaakt van de theorie
der complexe getallen. Daar waar de complexe getallen
ten behoeve van het inwendig produkt als vectoren wor
den behandeld, is een vectorstreep boven de term toe
gevoegd.
In fig. 3 zijn twee cirkelbogen aangegeven. Om de alge
mene geldigheid van de afleiding duidelijk te laten blij
ken, zijn twee tegengestelde bogen aangegeven. In de
praktijk zal dit in het algemeen niet het geval zijn. In het
snijpunt S van de verbindingslijn M1 - M2 met de krom
me gaat de ene cirkelboog over in de ander. Het argu
ment van de verbindingslijn is Als dit argument zo
wordt gekozen, dat de verbindingslijn M1 - M2 de krom
me van rechts naar links snijdt, en als bovendien de
straal van een cirkelboog naar rechts positief is en naar
links altijd negatief, dan kunnen de coördinaten van het
snijpunt S worden geschreven als:
Zs Z1 i.R1.eia1 R1.eiv (1a)
en als:
Zs Z2 i.R2.eia2 R2.ei,p (1b)
NGT GEODESIA 84
raa kl i j n
foutïef
