Het punt Z0 in beide figuren wordt bepaald door een
hulplijn met als argument het gemiddelde van de argu
menten van beide rechtstanden te snijden met beide
rechtstanden, en daarna Z0 te bepalen als gemiddelde
van beide snijpunten. Vervolgens wordt het argument
berekend door 1 /2n op te tellen bij het argument van de
hulplijn, waarbij de richting van de hulplijn samenvalt
met de doorlooprichting van de cirkelboog. Vanuit de
doorlooprichting gezien, wijst het argument daarom
steeds naar rechts. Dit geldt zowel voor de constructie
van fig. 4 als voor die van fig. 5. De afstand van het punt
Z0 naar het middelpunt M wordt met de grootheid L
aangegeven. Als M in de tegengestelde richting van cp
ligt, wordt uitgegaan van een negatieve waarde van L.
Hierdoor geldt voor punt M altijd:
ZM Z0 L.e^ (13)
en voor R2:
R2 (Z-ZM).(Z-ZM) (Z-Zo).(Z-Zo)
- 2L (Z-Zo).ei'', L2
met:
.if
(Z Z0)e
(Y-Y0) cos (X X0) sin
en
q (Z
Z0)ie'
if
(X-X0) cos - (Y Y0) sin
(14)
(15a)
(15b)
wordt:
(Z^Z0).(Z=Z0)
(Y - Y0)2 (X-X0)2 p2 q2 (16a)
Formule (14) wordt dan:
R2 p2 q2 - 2L.p L2 (16b)
Voor de waarde R in de formule (16) geldt, dat deze ge
lijk is aan de lengte MS, vermenigvuldigd met de abso
lute waarde van sin met:
P a2 - (17)
Om de lengte MS te bepalen, worden coördinaten van
punt S geschreven als:
Zs Z0 a.cotg P e"11 (18)
,,a" is de helft van de lengte van de hulplijn. De formule
(18) geldt zowel voor de constructie van fig. 4 als voor
die van fig. 5. De formule is bovendien invariant voor de
doorlooprichting van de cirkelboog.
Uit (18) en (13) volgt, dat de lengte van MS is gelijk aan:
a.cotg P - L (19)
Voor R2 geldt dus:
R2 sin2 P (a.cotg p - L)2
cos2 p. (a - L.tg /?)2 (20)
Met formule (20) wordt de vergelijking (16b):
cos2 P (a - L.tg jff)2 p2 q2 - 2L. p L2 (21a)
of:
cos2/TL2 - (2p-2a.sin cos L
p2 q2 - a2.cos2 P 0 (21b)
Uit de vergelijking (21) kunnen de waarden voor L wor
den bepaald:
Ll2 P a.sin p cos/? (22)
COS2 P
y(p-a.sin p.cos /?)2 - cos2 P (p2 q2-a2.cos2 P)
cos2 P
Formule (22) geeft twee oplossingen, omdat door het
punt Z twee cirkels zijn te construeren, als behalve dit
punt alleen de twee rechtstanden zijn gegeven.
In de constructie die in fig. 4 is aangegeven, is de cirkel
met de grootste straal de juiste; in het andere geval (fig.
5) de cirkel met de kleinste straal. Door dit gegeven is
het mogelijk het teken vóór het wortelteken te bepalen.
Immers, stel de juiste waarde van L gelijk aan:
p - a .sin/?, cos P
cos2 p
k. I tg
j/(a-p.tgP)2 - q2
(23)
tg p. cos p
met k 1 of -1, waarbij de uiteindelijke waarde van k
nog moet worden vastgesteld. Deze nadere vaststelling
van k wordt uitgevoerd aan de hand van de hiervoor ge
noemde eisen voor de straal R. Uit formule (20) blijkt,
dat deze eisen ook gelden voor de term:
a-L.,g/)= i^PJa-ü
COSz P
k. I tgI
j/(a-p.tg P)2 - q2
(24)
cos/?|
In het geval van fig. 4 geldt, dat sin p altijd negatief is;
in het geval van fig. 5 is sin altijd positief,
sin p
Met k
sin p
krijgt formule (24) en dus ook de
straal van de cirkelboog de grootste waarde bij een con
structie volgens fig. 4 en de kleinste waarde bij een con
structie volgens fig. 5.
Met formule (23) geldt dan voor L:
P
L
COS2 P
1
COS P
- a.tgP
|/(a ptg /?)2 - q2
(25)
Er kunnen evenveel waarden L worden berekend als er
punten Z van de cirkelboog zijn gemeten. Bij de bereke
ning wordt steeds van hetzelfde punt Z0 uitgegaan. De
berekende waarden L kunnen worden vereffend, als
deze bij de toetsing worden geaccepteerd. Vermeden
moet worden om punten Z nabij dè rechtstand in de ver
effening te betrekken, omdat de standaardafwijking van
de waarde L in dat geval groot wordt.
Als punt Z een tangentpunt is, bepaalt het tevens de
rechtstand. De standaardafwijking van de waarde L is
dan wel acceptabel, mits ook de straal van de cirkelboog
niet al te groot is.
6. Slotbeschouwing
De afgeleide modellen zijn voornamelijk te gebruiken
voor het zodanig verwerken van terrestrisch ingewonnen
landmeetkundige gegevens van krommen in het terrein,
dat een handzaam coördinatenbestand kan worden ver
kregen. Tevens kan het voorafgaande worden toegepast
bij het digitaliseren van de lijninformatie van grootscha
lige kaartbladen. Bij de Dienst van het Kadaster en de
Openbare Registers wordt de uitwerking van deze wis
kundige modellen bij beide toepassingen gebruikt.
De beschreven modellen kunnen worden uitgebreid tot
een systeem, waarbij gegevens van derden die zijn aan
geboden in lijnvormen, afwijkend van rechte lijn en
cirkelboog, kunnen worden omgezet in cirkelbogen.
200
NGï GEODESIA 84
