(SetntoeltL
nederlands geodetisch tijdschrift
Enkele beschouwingen over het toetsen
van hypothesen
o2
o2
A VwT
Vw
door prof. ir. J. van Mierlo, hoogleraar aan de Technische Universiteit van Karlsruhe.
SUMMARY
Some considerations on testing hypotheses
A general test statistic for a linear hypothesis with more than one parameter is derived using the adjust
ment model with condition equations (the first standard problem). Data-snooping is a special application
of the derived test statistic. Keeping the non-centrality parameter for the global test on the a posteriori
variance factor and the specified linear alternative hypothesis, constant, one can relate the significance
levels of both tests as was proposed by Baarda.
1. Inleiding
In de laatste jaren is in de geodetische literatuur veel
aandacht geschonken aan het opsporen van fouten in
waarnemingen. In 1967 stelde prof. Baarda de B-
methode van toetsen voor. Deze methode toetst in prin
cipe alle mogelijke gespecificeerde modelfouten. Deze
modelfouten zijn echter afhankelijk van één parameter.
In dit artikel zal de toetsing van modelfouten worden be
schouwd, die van meerdere parameters afhankelijk zijn.
Een voorbeeld is de gemeenschappelijke toetsing van
beide coördinaten van een RD-punt.
2. Modelaannamen
Aangenomen wordt, dat de n x n-covariantiematrix C
van de waarnemingen l„ In bekend is. Als o2 de
variantiefactor voorstelt en Q de gewichtscoëfficiënten-
matrix van de waarnemingsvector I (I,, ln)T, dan
geldt
C o2 Q o2 P"1 (2.1)
De matrix P is de gewichtsmatrix. Tussen de midwaar-
den T (I,, ln)T worden b-relaties bekend veron
dersteld:
U T - u0 0 (2.2)
Hierin is U een b x n-matrix en u0 een b x 1-vector.
De nulhypothese H0 die het vereffeningsmodel be
schrijft, bestaat uit het kansmodel (2.1) en het voor-
waardemodel (2.2). Substitueert men de waarnemingen
in de voorwaardevergelijkingen, dan ontstaan de nul
grootheden w:
w UI un
(2.3)
De gewichtscoëfficiëntenmatrix van de nulgrootheden
duidt men aan met Q^. Door toepassing van de voort-
plantingswet der gewichtscoëfficiënten krijgt men
(L u Q UT (2.4)
Toepassing van het rekenalgorithme van de methode
der kleinste kwadraten geeft de correctievector v
(v,, vn)T, ofwel
v - Q UT Q^1 w (2.5)
De gewichtscoëfficiëntenmatrix van de correcties wordt
Qvv genoemd. Uit (2.5) volgt met (2.4)
Q,, OUT CU-' U Q (2.6)
Tot nu toe is stilzwijgend aangenomen, dat de nulhypo
these H0 geldig is. Niet onmogelijk moet worden
geacht, dat fouten zijn gemaakt, ondanks alle mogelijke
zorg die aan meting en berekening is besteed. Zijn er
fouten gemaakt, dan heeft men niet met waarnemingen
I, maar met I' te doen. Het verschil tussen de midwaar-
den T' en T is de „modelfout" VI, dus
I' I VI
(2.7)
Aangenomen wordt, dat de covariantiematrices van de
waarnemingsgrootheden I' en I gelijk zijn. In (2.7) wordt
een alternatieve hypothese Ha beschreven, echter zon
der enige specificatie. In werkelijkheid weet men natuur
lijk niet of men fouten heeft gemaakt, m.a.w. men weet
niet welke hypothese geldig is, H0 of Ha. De statistische
grootheid waaraan het al dan niet verwerpen van de nul
hypothese H0 wordt verbonden, heet toetsingsgroot
heid. Bij normaal verdeelde waarnemingsgrootheden en
bekende variantiefactor o2 is de toetsingsgrootheid
vTPv
T
X2 (b)
(2.8)
T heeft een chi-kwadraatverdeling met b vrijheids
graden.
De steeds gebruikte toets op aanvaardbaarheid van de
nulhypothese H0 is:
Als
\#T D»
v2 (1 _c; b) (2.9)
T
X2
verwerp dan H0; indien anders, aanvaard dan H0. Onder
Ha geldt, dat de midwaarden van de nulgrootheden w
niet langer nul zijn, maar
w Ha U (l~+ VI) - u0
ofwel
w| Ha U VI Vw (2.10)
Onder de alternatieve hypothese Ha heeft de toetsings
grootheid (2.8) de niet-centrale chi-kwadraatverdeling
met de niet-centraliteitsparameter:
(2.11)
Voor (2.11) kan men met (2.6) en (2.10) ook schrijven
NGT GEODESIA 84
329
