a yiT po^p vi
I Ha
(b,A)
Ab
II y II2 3 yT M y x2 (q) (3.8)
A VT M y
cr
cr
Nu geldt onder de alternatieve hypothese
vTPv
(2.12)
(2.13)
In de praktijk is A onbekend, omdat men VI niet kent,
zie (2.12). Neemt men voor A een waarde aan, dan kan
men het onderscheidingsvermogen Ab van de toets (2.9)
berekenen (zie fig.1).
Ab Pr (X'2 (b, A) X2 (1 - er; b))
f '2 (b, A))
f (X2 <b))
W\W o
X2 (1 - er; b)
Fig. 1.
X2 (b)
X2 (b, A)
VI,
1 0
Vl2
0 0
Vl3
0 1
VI4
0 0
VIB
0 0
3. Specificatie van Ha
Aangenomen wordt, dat de alternatieve hypothese Ha
kan worden geschreven in de vorm
VI By (3.1)
waarin B een gegeven n x q-matrix en y een onbekende
q x 1-vector voorstelt. De voorwaarde q b moet ver
vuld zijn. Ter verduidelijking kan het volgende voorbeeld
dienen. Met q 2 en n 5 krijgt men bijvoorbeeld
Deze alternatieve hypothese veronderstelt dus een fout
in de eerste waarneming ter grootte y, en een fout in de
derde waarneming ter grootte y2.
Substitueert men (3.1) in (2.10), dan wordt
Vw U B y (3.2)
Onder de alternatieve hypothese Ha geldt
w' UI' - u0
dus voor de midwaarde w'zie (2.10),
w' Cll' - u0 Vw (3.3)
Met (3.2) wordt (3.3):
w' UB y (3.4)
De vergelijking (3.4) is het vereffeningsmodel van het
tweede standaardvraagstuk: „Waarnemingen" w'
„onbekenden" y. De gewichtscoëfficiëntenmatrix van
w' is gelijk aan die van w, zie aanname bij (2.7). Volgens
de methode der kleinste kwadraten verkrijgt men dan
voor y een beste schatting y uit
y (BT UT CU1 UB)"1 B^Q^1 w (3.5)
Met behulp van (2.5) en (2.6) kan men voor de schatting
y schrijven
y - (BTP Qw P B)"1 BTP v (3.6)
Opgemerkt dient te worden, dat men in de praktijk
slechts een waarnemingsgreep ter beschikking heeft en
dat men niet weet of men met H0 of Ha te doen heeft.
De nulgrootheden worden ongeacht de geldigheid van
H0 of Ha steeds berekend door substitutie van de waar
nemingen in de voorwaardevergelijkingen. Het vereffe-
ningsalgorithme geeft dan correcties v,, vn. Een
schatting voor de modelfout volgt door substitutie van
(3.6) in (3.1). Onder de nulhypothese H0 bezit de schat
ting y een q-dimensionale normale verdeling met mid
waarde nul en covariantiematrix er2 M_1 met
M BT P Qw P B (3.7)
Het kwadraat van de gewogen norm van y heeft onder
H0 dan een chi-kwadraatverdeling met q-vrijheidsgra-
den, vergelijk (2.8) en [Koch, 1980]
cr
Als toetsingsgrootheid kan men (3.8) gebruiken.
Is y ||2 X2 (1 -aq; q) (3.9)
dan wordt H0 verworpen en de alternatieve hypothese
(3.1) aanvaard.
Onder Ha geldt, dat y een zuivere schatter is van y. Dan
bezit y ||2 onder Ha de niet-centrale chi-kwadraatver-
deling [Koch, 1980]
y ||2 Ha X2 (q,A) (3.10)
met
(3.11)
Met (3.7) en (3.1) wordt wederom de niet-centraliteits-
parameter (2.12) verkregen
A VIT P Qvv P V I (3-12)
Opvallend is, dat de toetsingsgrootheden (2.8) en (3.9)
onder de alternatieve hypothese Ha dezelfde niet-cen-
traliteitsparameter A bezitten en beide een niet-centrale
chi-kwadraatverdeling hebben met b resp. q vrijheids
graden.
Neemt men voor A een waarde aan, dan wordt het
onderscheidingsvermogen Aq berekend uit
Aq Pr [X'2 (q,A) X2 (1 -aq q) (3.13)
Eist men voor de toets (2.9) een gelijk onderscheidings
vermogen Ab Aq' dan kan men bÜ gegeven b, q en cr
de onbetrouwbaarheid aq bepalen. Dit is de grondge
dachte van de B-methode van toetsen [Baarda, 1968].
4. Verband met de toetsingsgrootheid van Baarda
Uit (3.8) volgt met (3.6) en (3.7)
y ||2 (vT P B) M_1 (BT Pv) (4.1)
De matrix M_1 kan men schrijven als het produkt van
twee matrices (Cholesky decompositie)
M-1 R RT (4.2)
Stelt men nu
t - RTBTP v (4.3)
cr
dan is t een q x 1-vector. Onder H0 geldt dat t
(t, tq)T de q-dimensionale normaalverdeling bezit
met midwaarden nul en als covariantiematrix de q x q-
eenheidsmatrix. Bij geldigheid van de nulhypothese
heeft de som van de kwadraten van t„ t2, tq een
chi-kwadraatverdeling met q vrijheidsgraden.
Men heeft dus
q
1 (t;)2 X2 (q) (4.4)
i 1
Nu geldt ook, zie (4.1),
330
NGT GEODESIA 84
