nederlands geodetisch tijdschrift
Voorwaarden in een ruimtelijke
driehoeksmeting
fx2 - X,1
door dr. ir. C. M. Avan den Hout, wetenschappelijk hoofdambtenaar aan het ITC te
Enschede.
SUMMARY
Conditions in a spatial triangulation
The conditions to be satisfied by the angles in a plane triangulation are generally known. Equally well-
known are the corresponding equations.
Less well-known are the conditions to be satisfied by the directions in a spatial triangulation. Still less
known, or totally unknown, are the corresponding equations. Therefore, the latter equations are derived
here.
1. Algemeen
We beschouwen een ruimtelijk net van aaneengesloten
driehoeken. In fig. 1 zijn drie driehoeken van het net ge
tekend; één van de vier hoekpunten ligt niet in het vlak
van de tekening.
Fig. 1. Drie driehoeken met een centraal punt.
Voor de afleiding van de voorwaardevergelijkingen intro
duceren we voor elk hoekpunt van het net een recht
hoekig assenstelsel, waarvan we de oorsprong laten
samenvallen met het betrokken hoekpunt. Het as
senstelsel in het hoekpunt 1 duiden we aan met xVz1.
De (verticale) hoek die de richting r12 (gemeten van
punt 1 naar punt 2) insluit met zijn projectie op het xy-
vlak, noemen we or, 2 en de (horizontale) hoek die de
projectie insluit met de positieve x-as, 2. De afstand
tussen de punten 1 en 2 is I, 2 en de xVz'-coördinaten
van het punt 2 zijn x2y2z2.
We nemen aan, dat in elk hoekpunt de hoeken a en
van de richtingen naar alle direct naastgelegen hoek
punten bekend zijn (fig. 2).
We gaan nu eerst na hoeveel (onafhankelijke) voor
waardevergelijkingen er tussen de hoeken a en yS be
staan. Als hulpmiddel introduceren we daarvoor een
rechthoekig en willekeurig gelegen assenstelsel XYZ.
NGT GEODESIA 84
Fig. 2. Verticale en horizontale hoek.
Tussen de XYZ-coördinaten van de punten 1 en 2 en de
poolcoördinaten van het punt 2 in het x'yV-assen-
stelsel bestaat het verband
Y2 - Y,
'i^A1
Z2 - Z,
cos a, 2 cos 2
cos er, 2 sin 2
sin or.
*1,2
(1)
waarin A' een driedimensionale orthogonale matrix is.
Tussen de negen elementen aj (k 1,2,3; I 1,2,3) van
de orthogonale matrix A1 bestaan zes onafhankelijke
betrekkingen.
(ATA1 AMAT I (2)
waarin A1 )T de getransponeerde van de matrix A1 is en
I een driedimensionale eenheidsmatrix.
Dit betekent, dat zes elementen van de matrix A' kun
nen worden weergegeven als functies van de overige
drie elementen, mits deze elementen van elkaar onaf
hankelijk zijn; bijvoorbeeld de onder de hoofddiagonaal
gelegen elementen a2]u a3', en aj^.
2. Het aantal voorwaarden in een net
We volstaan met het beschouwen van het net in fig. 1.
421
