(lu)2 (l14)2 - 2 lu lM cos y3)4 (l2,3)2
sin V2A
- sin (y32, y2]3
- sin (y42, y422)
sin y2]3 sin yj4
(cos y2]3 cos y2'4 - Cos y3]4
sin 732i sin y42.
(cos y32, cos y42,
cos y324)
y-2,2 ?32i y i32 71 (radialen) (3)
sm y^2
sin y32,
sin y,43
sin y43,
sin y{4
sin y24,
(9)
ZL
cos a, 2
cos a, 2
sin a12
cos 2
sin py2
(l1>2)2 (x7)2 (y\)2 (z\)2
Gelet op (10c) is
(10c)
In elk van de vier hoekpunten zijn drie richtingen be
paald. Voor elke richting kunnen drie vergelijkingen (1)
worden opgeschreven. In het stelsel van 4 x 3 x 3 36
vergelijkingen komen 36 onbekenden voor, nl. in elk
hoekpunt drie coördinaten XYZ, drie lengten I en drie
rotaties a21, a31, a32.
Laten we echter het XYZ-assenstelsel samenvallen met
bijvoorbeeld het x'yV-assenstelsel en stellen we 1,2
1, hetgeen is geoorloofd, dan komen er nog slechts
36 - 7 29 onbekenden voor in het stelsel vergelij-
- a2j a3j,
33.2
0.
kingen; X, Y, Z,
Elimineren we de 29 onbekenden, dan blijven er zeven
onafhankelijke voorwaardevergelijkingen over.
We merken nu op, dat fig. 1 bevat:
a. drie enkelvoudige driehoeken,
b. drie paren aaneengesloten driehoeken en
c. één krans van aaneengesloten driehoeken.
Als tussen de hoeken van a., b. en c. een meetkundig
verband bestaat, dan kunnen dus in het beschouwde ge
val ook zeven onafhankelijke voorwaardevergelijkingen
worden opgesteld.
We beschouwen daarom achtereenvolgens één drie
hoek, twee aaneengesloten driehoeken en een krans van
aaneengesloten driehoeken.
(I2,3)2 (l2,4)2 - 2 l23 l24 cos y324 (l34)2 (4b)
Uit (4a) en (4b) leiden we af:
(l2 4)2 - 2 l2 3 l2 4 cos y324 (5)
Vervolgens passen we de sinusregel toe. Uit de drie
hoeken met de hoekpunten 1, 2, 3 en 1, 2, 4 volgt dan
'2,3
sin y2 3
sin y32, u
en *2 4 2 14
sin y42
en vervolgens
sin y32,
sin y42,
'1,2
I,
en
(6a)
(6b)
We elimineren nu eerst de afstanden l2 3 en l24 uit (5) en
(6a) en vervolgens de afstanden 1,3 en 1,4. Het resultaat
levert, na enige bewerkingen de snijdingsvoorwaarde-
vergelijking.
(7)
3. Driehoeksvoorwaarde
De hoek in het hoekpunt 1, ingesloten door de richtingen
naar de punten 2 en 3, duiden we aan met y2]3 of y3]2.
Zoals bekend, moet de som van de hoeken y in elke drie
hoek van een net, ongeacht de stand van de driehoeken
bijvoorbeeld ten opzichte van het XY-vlak, gelijk zijn aan
n radialen (dit wordt de driehoeksvoorwaarde ge
noemd).
In de driehoek met de hoekpunten 1, 2 en 3 in fig. 1 moe
ten de hoeken dus voldoen aan de betrekking (of drie
hoeksvoorwaarde vergelijking)
4. Snijdingsvoorwaarde
We beschouwen vervolgens in fig. 1 de aaneengesloten
driehoeken met de hoekpunten 1, 2, 3 en 1, 2, 4.
Met behulp van de hoeken a en in het punt 1 construe
ren we de schoof of bundel richtingen naar de punten 2,
3 en 4 en vervolgens, met behulp van de hoeken a en P
in het punt 2, de bundel richtingen naar de punten 1, 3
en 4.
Daarna laten we, door een verschuiving en een draaiing,
de richting r21 samenvallen met de richting r12 en ver
volgens, door een draaiing om de richting r21, de rich
ting r2 3 de richting r, 3 snijden; beide manipulaties zijn
zonder meer mogelijk.
De richting r2 4 moet nu de richting r, 4 snijden. Dit zal
echter in het algemeen niet het geval zijn, o.a. ten ge
volge van de invloed van de atmosferische refractie,
meetfouten, e.d.
De voorwaarde, dat de richtingen in de eindpunten van
de gemeenschappelijke zijde van twee driehoeken elkaar
moeten snijden, noemen we de snijdingsvoorwaarde.
Ter afleiding van de daarop betrekking hebbende voor-
waardevergelijking passen we de cosinusregel toe op de
driehoek met de hoekpunten 1, 3 en 4.
O13)2 'i,4)2 2 l13 l14 cos y34 (l34)2 (4a)
en vervolgens op de driehoek met de hoekpunten 2, 3
en 4
5. Sinusvoorwaarde
Zoals bekend, moet voor de driehoeken om ieder cen
traal punt, ongeacht de onderlinge ligging van de drie
hoeken, het produkt van de sinussen van de links-
gelegen omtrekshoeken, vanuit het centrale punt ge
zien, gelijk zijn aan het produkt van de sinussen van de
rechtsgelegen omtrekshoeken (dit wordt de sinusvoor
waarde genoemd).
Passen we achtereenvolgens de sinusregel toe in de
driehoeken met de hoekpunten 1,2,3; 1,3,4 en 1,2,4,
dan is
I,
(8)
We stellen nu de eis, dat het produkt van de linkerleden
van de vergelijkingen (8) gelijk is aan het produkt van de
rechterleden. Het resultaat levert de sinusvoorwaarde-
vergelijking voor het centrale punt in fig. 1.
sin y32 sin y43,
sin y,42
sin y,J2 sin y,43 sin y,2
6. Het meetkundig verband tussen de hoeken a,
en y
De vergelijkingen (3), (7) en (9) zijn uitsluitend functies
van de hoeken y van de driehoeken van een net. Deze
hoeken beschouwen we als onbekende grootheden. Zij
kunnen echter worden weergegeven als functies van de
bekende hoeken a en We passen daartoe de cosinus-
regel toe op de driehoek met de hoekpunten 1, 2 en 3 in
fig. 1-
(I12)2 (lu)2 - 2 l12 1,3 cos y2]3 (l2 3)2 (10a)
Uit fig. 2 leiden we af
X2
V2
'1,2
en uit (10b)
(10b)
422
NGT GEODESIA 84
