De eerste twee vergelijkingen van (1) nemen dan de
vorm aan van de volgende welbekende tweedimensio
nale gelijkvormigheidstransformatieformules:
Xj a,Xi j - biYj j X;
Yj b;Xjj 3jYi j Y,
Per triangulatiepunt hoeven nu nog slechts twee plani-
metrische coördinaten (Xj, Yj) en per model vier oriënte
ringselementen (A,, Kt, Xj, Yj) te worden bepaald. De
voor elk punt geldende vergelijkingen (2) zijn lineair. Het
stelsel vergelijkingen kan dus worden opgelost door het
rekenproces eenmalig te doorlopen, mits een directe
methode voor het oplossen wordt gebruikt.
In 1960 werd door de fotogrammetrische afdeling van de
Meetkundige Dienst van de Rijkswaterstaat een plani-
metrische triangulatiemethode voor een blokvereffening
met onafhankelijke modellen ontwikkeld, gebaseerd op
de vergelijkingen (2). Door het ITC (International In
stitute for Aerial Survey and Earth Sciences) werd ver
volgens een rekenprogramma voor deze methode op
gesteld, het zogenaamde „Anblock-programma".
Vervolgens kan met de laatste vergelijking van (1) een
hoogtetriangulatie worden uitgevoerd. De daarvoor be
nodigde waarden voor de schaalfactoren worden ont
leend aan de planimetrische triangulatie. Per triangula
tiepunt hoeft nu nog slechts één hoogtecoördinaat (Zj)
en per model drie oriënteringselementen (cp|, co,, Zj) te
worden bepaald. De voor elk gemeten punt geldende
vergelijkingen zijn niet lineair. Het stelsel vergelijkingen
moet dus iteratief worden opgelost, ook al wordt een
directe methode voor het oplossen gebruikt. In het alge
meen wordt echter met een eenmalig doorlopen van het
rekenproces volstaan.
De modellen zijn in het algemeen niet zuiver horizontaal;
de planimetrische triangulatie heeft daarom betrekking
op quasi-modellen. Deze worden gevormd door de pro
jecties van de gemeten modellen op een horizontaal
referentievlak (het X, Y-vlak). Het resultaat geeft dus
slechts benaderde waarden voor de schaalfactoren.
Uiteraard levert ook het resultaat van de hoogtetrian
gulatie, die op deze waarden is gebaseerd, benaderde
waarden voor de onbekenden op. Het gehele reken
proces moet daarom worden herhaald, nadat eerst met
de berekende waarden van de langs- en dwarshellin-
gen voor elk punt getransformeerde modelcoördinaten
(u;j, Vj j) zijn berekend.
Op deze „planimetrie-hoogtetriangulatie" methode is
het welbekende en met zeer veel succes toegepaste
PAT-M43 programma gebaseerd, dat is ontwikkeld door
het Fotogrammetrisch Instituut van de Universiteit van
Stuttgart (Bondsrepubliek Duitsland).
Het is interessant na te gaan of de schaalfactoren op een
eenvoudiger manier kunnen worden bepaald, om vervol
gens de modellen te waterpassen zonder dat eerst deze
factoren zijn bepaald.
2. Directe bepaling van de schaalfactoren
De afstand rijj 1 tussen twee punten i,j en i,j+1 van
het model (i) is te bepalen uit de gemeten coördinaten
van deze punten
fi.j.j 1 V (Xi,j,j 1>2 (Yi.j.j+i)2 (Zi,j,j 1>2 (3)
waarin
Xi.j.j 1 xiij 1 - xy enz.
Tussen deze afstand, de schaalfactor van het model (i),
en de afstand fj j 1 tussen de corresponderende terrein-
punten j en j+1 bestaat, zoals bekend, de betrekking
*i l.j.j1 S.j+i <4>
NGT GEODESIA 85
Voor de corresponderende punten van het aangrenzen
de model (i 1geldt
^i i 1 i,j,j i 1,j i (5)
Eliminatie van Pj j+1 uit de vergelijkingen (4) en (5) geeft
de verhouding van de schaalfactoren van de aangren
zende modellen
^•i I,j,j 1 ^i 1 1 1,j,j+1 '6)
Voor elke paar aangrenzende modellen worden nu één
of meer vergelijkingen (6) opgesteld. De verhouding van
de schaalfactoren is daardoor bepaald. De schaalfacto
ren zijn te bepalen door een vergelijking (4) aan het
eerstgenoemde stelsel vergelijkingen toe te voegen. Dat
betekent echter, dat de terrestrische afstand tussen
twee terreinpunten, die corresponderen met twee mo-
delpunten welke deel uitmaken van een en hetzelfde
model, bekend moet zijn. Elke extra terrestrische afstand
geeft een overtallige vergelijking. Het stelsel vergelij
kingen is lineair. Per model hoeft nu nog slechts één on
bekende grootheid te worden bepaald.
Vervolgens kan met de derde vergelijking van (1) een
hoogtetriangulatie worden uitgevoerd. Ter verhoging
van de nauwkeurigheid van het eindresultaat kan nog
gebruik worden gemaakt van een vergelijking, die de
voorwaarde weergeeft waaraan de verbindingslijn van
twee punten van een model moet voldoen. We beschou
wen daartoe de punten i,j en i,j 1 van het model (i), en
de corresponderende terreinpunten j en j+1. De hoek,
die de verbindingslijn van de terreinpunten j en j 1 en
een horizontaal referentievlak (het X, Y-vlak) met elkaar
maken, is a.
Zj l
Fig. 2. Helling van de verbindingslijn van twee terreinpunten.
Een voorwaarde hierbij is dat de hoek, die de verbin
dingslijn van de modelpunten i,j en i,j 1 en het X,Y-vlak
met elkaar maken, gelijk moet zijn aan de hoek orji 1.
Tussen deze hoek, de afstand Pj j 1 en het Z-coördina-
tenverschil van de punten j en j 1 bestaat nu de verge
lijking
sin ajj+1 (Zj 1 - Zj)/Pjj 1 (7)
Gelet op de derde vergelijking van (1) is
Zj+1 - Z, A; <Ci.xUJ+1 di.yUj+1 e,zijj+1) (8)
Eliminatie van Aj, lj j 1 en Z] 1 - Zj uit (4), (7) en (8)
geeft de vergelijking
sin aiJ+1 (c,.xuj+1 d, .•yi>jij+1 (g)
®i zi,j,j 1 1
Uiteraard kan deze vergelijking alleen worden gebruikt
als de hoek aj j 1 in het terrein is gemeten, tenzij de
punten zijn gelegen in één en hetzelfde referentievlak
X,Y-vlak), bijvoorbeeld punten van een wateroppervlak,
vaart, sloot, meer e.d. In dat geval is de hoek bij benade
ring gelijk aan nul.
Tenslotte volgt op de hoogtetriangulatie een planimetri
sche triangulatie. Als de laatstgenoemde triangulatie
wordt uitgevoerd met de Anblock-methode, levert het
resultaat opnieuw waarden op voor de schaalfactoren.
43
