Een statistisch model voor lodingen
h dk
var (dk) xk ak
var (h) (\+0k)
ak;i'°k;j'Pk;i,j
cov (h^hj)
nederlands geodetisch tijdschrift
door ir. L. M. M. Veugen, werkzaam bij de Meetkundige Dienst van de Rijkswaterstaat
te Delft.
SUMMARY
A statistical model for soundings
This paper presents a theoretical model which can be used to estimate or to simulate the precision of
corrected soundings. The effect of the density of sounding lines is described as well.
Inleiding
Van een afgebakend nat gebied moet als voornaamste
morfologische parameter de gemiddelde hoogte ten op
zichte van NAP worden bepaald. Een manier om tot
deze hoogte te komen, is via verwerking van lodingge-
gevens. In een groot aantal punten worden vanaf een
schip diepten gelood. Het is echter noodzakelijk om de
verkregen ruwe gegevens te corrigeren voor diverse ef
fecten, zoals waterpeil, nulpuntsfout, inzinking, enz.
Deze effecten worden direct of indirect gemeten. Elke
correctieterm bezit zodoende een onnauwkeurigheid die
wordt uitgedrukt in een standaarddeviatie (sd).
De sd in een enkel punt (model 1) kan worden berekend
uit de sd's van de afzonderlijke termen. Voor een sd van
de gemiddelde hoogte (model 2) dient men rekening te
houden met de covariantie tussen elk tweetal gecorri
geerde hoogtemetingen. Dit aspect maakt de sd-bereke-
ning gecompliceerd. Door enkele aannames omtrent de
structuur van de covariantie kan een aanzienlijke bespa
ring in rekenwerk worden bereikt, die het lonend maakt
om simulaties uit te voeren.
Een tweede gedeelte dat bijdraagt aan de sd van de ge
middelde hoogte, vereist nadere uitleg. De metingen zijn
in afzonderlijke punten uitgevoerd, terwijl het gebied een
continu geheel vormt. In feite vindt een digitalisatie
plaats. Het verschil tussen berekende en gewenste ge
middelde hoogte kan worden uitgedrukt in een stan
daarddeviatie. Om deze sd te berekenen, is het nodig ge
bruik te maken van een autocovariantiefunctie. De func
tie geeft de covariantie van de hoogte tussen twee pun
ten aan, afhankelijk van de afstand tussen deze punten.
Structuur (co)varianties
Een gecorrigeerde hoogtemeting bestaat uit de somma
tie van een aantal termen:
De betekenis van de termen moet nog in een later sta
dium worden ingevuld; op dit moment is de mathema
tische modellering aan de orde. Elke term is een sto
chastische grootheid, ofwel toevalsvariabele, en bezit
een onnauwkeurigheid van toevallige en/of systemati
sche aard. Bijvoorbeeld: de loding zelf heeft een toevalli
ge fout, de nulpuntscorrectie is een systematische fout,
de peilschaalcorrectie heeft een toevallige afleesfout en
een systematische inmeetfout. De variantie van een
term kan dus uit twee delen bestaan:
2 2
Beide sd's rk (toevallig gedeelte) en erk (systematisch
gedeelte) worden bekend verondersteld. Voor sommige
termen kan een van beide ontbreken. Het is mogelijk de
correctietermen dermate uit te splitsen, dat een resul
terende term slechts één type fout bezit. Van een derge
lijke structuur wordt in het vervolg gebruik gemaakt.
Wanneer verder wordt aangenomen dat er geen correla
tie bestaat tussen de termen, dan kan de sd in een enkel
punt worden berekend:
Tot nu toe is gesproken over de sd in een enkel punt
(model 1). Bij twee (of meer) punten speelt correlatie
een rol, en wel in het systematische gedeelte. In het
meest algemene geval geldt dat de sd's rk en crk af
hangen van het in beschouwing genomen punt (positie
en tijdstip). Deze afhankelijkheid zal worden aangegeven
met indices. Voor twee metingen h, en geldt alge
meen:
waarbij pk;i de correlatie van effect k tussen de punten
i en j aangeeft.
Voorbeeld 1
Voor een nulpuntscorrectie die ooit eenmalig is be
paald, geldt:
o.
T =0
k;i k;j
P 1
k; ij
Voorbeeld 2
De ligging van het schip in het water wordt bij vertrek
en terugkeer gemeten: ev op tijdstip Tv, et op tijdstip
T,
Veronderstel nu dat de ligging van het schip lineair
verloopt:
e A.ey (1-X),et
158
NGT GE0DESIA 85
