x eN_, x
VXj (1~V (1~V
T
d O
k1 k
h d,
d,
.zTT z w za's,v,:L d
z z w z Wa's'v,i d
met
X
T - T
t
T - T
t v
In een willekeurig punt i op tijdstip Tl geldt voor de
sd:
2,2 22
o {X. (1 - X.) a,
ki k
met
X. X(T T.)
i i
Voor de correlatie tussen de punten geldt:
k; i j
(1 - X.)2' /Xj (1 - Xj)
Met bovenstaande kennis omtrent de (co)variantie is het
eenvoudig geworden om de sd van de gemiddelde hoog
te te berekenen. Deze hoogte wordt gedefinieerd als een
gewogen gemiddelde over de gecorrigeerde hoogte
metingen:
r vN
G E w..h.
w 1=1 i i
Hierbij is N het totale aantal punten en zijn w: de weeg
factoren.
Bij verwerking met een programmapakket zoals MOSS
worden weegfactoren opgesteld, die volgen uit de op
pervlakte waarover in het programma het punt represen
tatief wordt geacht. In formules voor de sd dient men
hiermee rekening te houden. Voorlopig beschouwen we
het ongewogen gemiddelde, dat van pas komt bij simu
laties:
IN
G - E h.
s N i=l
De variantie a\ van Gs is als volgt:
Ei-i var<V i j; j c°v<Vhj>
O E0 .O
k;i 2 l? j k ki k;J
r 1 N 2
k '2 1=1 Tk;i
toevallig
gedeelte
ij
°k;j
systematisch
gedeelte
(1)
Voorbeeld 3
Als voor alle punten effect k eenzelfde fout is als in
voorbeeld 1, dan is de totale bijdrage van het syste
matische gedeelte gelijk aan a\. Dit resultaat hadden
we ook direct kunnen afleiden. Het gemiddelde effect
is gelijk aan de term zelf vanwege de onafhankelijk
heid van het puntnummer:
IJ 1 ,N
N i=l k;i N i=l k k
en dus
"ar (B Ei=l "kil' Var (dk> °k
Voorbeeld 4
We herhalen de exercitie uit voorbeeld 3 voor het
type fout uit voorbeeld 2. Een berekening volgens
formule (1) leidt tot een bijdrage
{X2 (1-X)2} a2
met
N 1=1 1
Het tijdstip T, horende bij de gemiddelde weegfactor
A, is het gemiddelde van alle tijden waarop een
meting is uitgevoerd. Dit verklaart, rekening houdend
met de lineaire correctie, de interpretatie van boven
staande bijdrage. Het resultaat komt namelijk over
een met de sd die hoort bij een meting op tijdstip T.
Wanneer de metingen regelmatig over het tijdtraject
zijn uitgevoerd, dan geldt bij benadering A V2. En
dus
r1 vN
var l
N i=l
Specificatie fouttypes
In de vorige paragraaf zijn de middelen aangereikt om de
sd van de gemiddelde hoogte te berekenen. Voor de ac
tuele praktijksituatie is een specificatie van de (systema
tische) fouten nodig.
De meting van een punt i vindt plaats tijdens vaart v van
een bepaald schip s in jaar a. Met deze indices wordt nu
een gecorrigeerde hoogte aangegeven:
a,s,v,i k k;a,s,v,i
Merk op dat een zekere nesting aanwezig is. Het punt i
is tijdens vaart v gemeten, en deze vaart is uitgevoerd
door schip s. De sd's zijn in de meest algemene vorm af
hankelijk van punt, vaart, schip en jaar.
De fouten kunnen als volgt worden gespecificeerd:
I toevallige fouten
II systematische fouten
De laatstgenoemde fouten worden onderverdeeld in:
Ha overall-fouten
lib fouten, die voor een jaar persistent zijn
llc schip-afhankelijke fouten
lid vaart-afhankelijke fouten
Alle effecten kunnen, zoals eerder vermeld, zodanig
worden uitgesplitst, dat hun type fout tot één klasse be
hoort. Hierdoor wordt een duidelijk overzicht verkregen
van de covariantiestructuur. Een effect uit klasse lid is
onafhankelijk van hetzelfde effect tijdens een andere
vaart. Analoge opmerkingen gelden voor effecten uit
klasse lie en lib.
Voor de geschetste specificatie van fouttypes wordt nu
de variantie van het gewogen gemiddelde Gw bekeken.
Allereerst worden enkele cumulatieve weegfactoren ge-
introduceerd:
asv1
Z
v
zodat
w
a, s
1
Grootheid G is als volgt opgebouwd:
1
kei s,v,1
a. sv,1
k as v1
Ett I w d
kella s,v,i a,s,v,i k;a,s,v,i
L Z w
kellb s,v,i a,s,v,i d,
k;a,s v 1
kellc s a.s v.1 W k;a.s,v,i
as
kelld s,v a.s.v'iW k;a,s,v-, i
as 1 v
Voor de varianties geldt, wanneer rekening wordt ge
houden met correlaties:
NGT GEODESIA 85
159
