(W )2 of
keiic s a, s k;a,s
G v ff h(x) dx
A v
R(x,d) E v(x).v(x+d)
h(x)-t(x)
t x) Eh (x)
160
a var (G
w w
I (w ,)2 T2
kei sv,i asvl k
2 2
a a
ken a k kellb k;a
2 2
(W a
kelldl s,v asv k;a,s,v
kelld2 s^v ^Wa,s,v^ ak;a,s,v
(2)
De klasse lid is uitgesplitst in de klassen I Id 1 en Ild2,
waarvoor de covariantiestructuur is beschreven in voor
beeld 1, respectievelijk voorbeeld 2. In formule (2) is
tevens met de indices aangegeven of de sd's afhankelijk
zijn van jaar, schip of vaart. Dit betekent in sommige ge
vallen een vereenvoudiging. In het volgende voorbeeld
wordt een uitzondering behandeld.
Voorbeeld 5
Op een schip wordt halverwege het jaar het lodings
apparaat vervangen. Het betreffende effect met een
systematische fout is vóór de vervanging ongecorre
leerd met hetzelfde effect na de vervanging. Een der
gelijke gebeurtenis impliceert een aanpassing van de
sd <rk as. Als f de fractie punten is vóór de vervan
ging, en crk.as(ll en crk.as(2) de sd's vóór respectievelijk
na de vervanging, dan wordt voor c7k.as gesubsti
tueerd:
,2
f2.c2
k;a,s k;a,s(l)
(1-f)2-ak;a(s(2)
Voor elk effect dient voor een toepassing van het model
te worden onderzocht op welke manier het in het model
past. Eventueel dient een modificatie, vergelijk voor
beeld 5, te worden aangebracht.
Simulatie
Met behulp van formule (2) kunnen simulaties worden
uitgevoerd van de variantie van Gw. Hiervoor kunnen de
weegfactoren worden vereenvoudigd tot gelijke facto
ren: 1/N. De sd's kunnen zo worden gekozen dat ze al
leen afhankelijk van het effect zijn.
Onder dergelijke aannamen kan voor een reeds uitge
voerd meetprogramma op goedkope wijze een indicatie
van <7W worden gevonden. Ook kan voor een nog uit te
voeren meetprogramma worden berekend of de nauw
keurigheid binnen gestelde toleranties valt. Voor beide
situaties kan naar voren komen welke effecten een (te)
grote bijdrage aan de totale crw leveren, en eventueel
een bottle-neck vormen.
Ten behoeve van simulaties voor toekomstige meetpro
gramma's worden de volgende aannames gemaakt:
- het aantal schepen bedraagt S;
- het totale aantal vaarten bedraagt V; elk schip maakt
evenveel vaarten;
- het totale aantal punten bedraagt Ntijdens elke
vaart worden evenveel punten gelood;
- de middeling is ongewogen;
- voor elk effect hangt de sd niet af van punt, vaart of
schip;
- de covariantiestructuur van de systematische fouten
is zoals in voorbeeld 3 of 4.
De variantie o2, zie (2), kan nu verder worden herleid:
°w sv,i ^wa,s,v,i^ kei Tk
o2 a2
kella k kellb k
2 2
(W o,
s as kfuc k
(W )2 o2 4 o2}
s,v asv 1 kelldl k keïld2 2 k
ofwel
2 1 v 2
O T
w N kei k
v 2 v 2
o L, o
ken a k kellb k
- o2
S k He k
kelldl
z h O2}
keüd2 2 k s
(3)
Bovenstaande uitdrukking (3) voor de variantie van de
gemiddelde hoogte is vrij eenvoudig. Afgezien van de
sd's rk en crk komen alleen nog de aantallen N,V,S
voor. Het aantal S ligt vast; de waarden N en V kunnen
gevarieerd worden binnen de grenzen van beschikbare
mankracht. Voor de sd's dienen representatieve waar
den te worden gesubstitueerd.
Bodemstructuur
Het gebied waarvan de gemiddelde hoogte is gewenst,
is op zekere wijze afgebakend. De coördinaten van de
veelhoek die met het gebied overeenkomt, zijn bekend in
een xy-stelsel. Geef met V de verzameling punten x
(x,y) aan, die in het gebied liggen, en laat A de opper
vlakte van het gebied zijn. De gemiddelde hoogte G van
het gebied kan mathematisch als een oppervlakte-inte
graal worden geformuleerd:
waarin h (x) de werkelijke hoogte in punt x is.
De grootheid G wordt geschat uit slechts een eindig aan
tal punten hj hl^). De hoogte in een volstrekt wille
keurig punt x zal nooit worden gemeten. In de buurt van
zo'n punt ligt altijd een punt x, (of meerdere punten),
waarvan wel de hoogte bekend is. Omdat de bodem
structuur een bepaald patroon vertoont, is toch op
grond van hl^) informatie bekend over h(x). Tussen elk
stel punten, zoals x en xj( bestaat covariantie wat be
treft de hoogte. De omvang van deze covariantie wordt
vastgelegd in een autocovariantiefunctie R. De autoco-
variantie tussen punten x en x d wordt aangegeven
met R(x,d).
Voor een statistische beschouwing wordt het gebied V
beschouwd als een tweedimensionaal stochastisch pro
ces, en elke hoogte h(x) als een stochastische grootheid
met normale verdeling. Over het hele gebied zal een ver
loop aanwezig zijn. Dit verloop wordt aangegeven met
een trendfunctie t(x), zodat t(x) de verwachtingswaarde
is van h(x). Het verschil v(x) h(x) - t(x) is de wezen
lijke variatie in het bodempatroon. De autocovariantie
functie is dus gedefinieerd als volgt:
met
v(x)
NGT GEODESIA 85
