+e +<Po
aardoppervlak
W0 co nSf
hoogte
geoide
radiale afstand
ref. ellips
geocentr. coörd. oorsprong
Fig. 2. Geoïdeondulatie en orthometrische hoogte.
de grootte van Ag dient te kennen om in één punt P de
geoïdeondulatie te kunnen berekenen.
Formule (1) is de oplossing van het derde randwaarde
probleem of probleem van Robin. De oplossing van een
geodetisch randwaardeprobleem vereist, dat de poten
tiaalfunctie van de aarde harmonisch is buiten het aard
oppervlak. In dit geval staat het relatief simpele geoïde-
oppervlak, waarop de potentiaal een constante waarde
heeft, model voor het aardoppervlak. Stel nu dat we
overal op het reële aardoppervlak beschikken over de
grootte van de zwaartekracht g, de potentiaal (verschil)
W, de astronomische breedte 9 en de astronomische
lengte A. In fig. 3 wordt de situatie weergegeven in een
punt P. We hebben met een harmonische potentiaal
functie te maken, indien geen massa buiten de geoïde
aanwezig is. Verder dienen we de beschikking te hebben
over waarnemingen op de geoïde. De waarnemingen in
P moeten dus worden getransformeerd naar punt P' op
de geoïde, en de topografische en atmosferische mas
sa's zullen op verantwoorde wijze moeten worden
„weggehaald" of „verplaatst" naar binnen de geoïde:
het uitvoeren van topografische en atmosferische cor
recties.
Om de massaverplaatsing exact te kunnen uitvoeren,
zouden we de beschikking moeten hebben over de
dichtheidsfunctie p(x,y,z) voor topografie en atmosfeer.
Wat betreft de stationsverplaatsing van P naar P' zou
den we de zwaartekrachtgradiënt ög/öh moeten ken
nen. Deze functies zijn echter onbekend en daarom wor
den aannames gedaan. Voor de theoretici is en was
dit een hoogst onbevredigende oplossing en dat leid
de na de tweede wereldoorlog tot de zgn. „reductie-
vrije" methode van Molodenskii. De praktijk leert dat,
mits verantwoorde reductiemethoden worden gebruikt
de meest gebruikte zijn isostatische en vrije lucht
reducties het verschil tussen Stokes en de reductie-
vrije methoden verwaarloosbaar klein is.
De stap na het reduceren van de waarnemingen is die
van het opstellen van de zgn. waarnemingsvergelijkin
gen voor de vier grootheden W, g, 0 en A op de geoïde.
Het blijkt dan handig te zijn een normaaiveld te intro
duceren; een ellipsoïdisch lichaam fungeert als aard-
model en bezit een massa M' en potentiaal U, waarvan
wordt aangenomen dat ze gelijk zijn aan respectievelijk
de massa M van aarde plus atmosfeer en de potentiaal
W op de geoïde. In werkelijkheid is dit niet het geval,
omdat exacte kennis over de grootte van M en W ont-
a t m sfeer-
P
^aardoppervlak
geoide
Fig. 3. Invloed van topografische en atmosferische massa's.
breekt. Het gevolg is, dat het eindresultaat geoïde-
hoogte N een fout N0 bevat, die constant is voor de hele
aarde. De waarnemingsvergelijkingen worden vervol
gens gelineariseerd met behulp van het normaaiveld. Ter
vereenvoudiging van de afleiding wordt het normaalveld
tijdens deze procedure beschouwd als zijnde afkomstig
van een bol. De afplatting van de ellipsoïde wordt ver
waarloosd en dit heeft tot gevolg, dat de geoïdehoogte
in formule (1) voor dit effect dient te worden gecorri
geerd, de zgn. ellipsoïdische correctie. Het resultaat van
de linearisatie wordt gecombineerd met de oplossing van
de vergelijking van Laplace, wat leidt tot een uitdruk
king, die een alternatief is van die van Stokes [6]:
Np R I (cLc°smAp S/m sin mAp)
t= 2 m 0
P/m (sin (2)
C /m/ coëfficiënten van graad en orde m,
P^m (sin cp)Legendrefunctie van graad /en orde m,
cp, A geocentrische breedte en lengte.
Met behulp van de gelineariseerde waarnemingsvergelij
kingen voor g en W en de orthogonaliteitsrelaties voor
sferische harmonischen is het mogelijk de coëfficiënten
en S/m in formule (2) uit te drukken als functie van
Ag en dat leidt uiteindelijk tot de formule van Stokes.
3. Praktijk
In de praktijk is de formule van Stokes onuitvoerbaar,
omdat we namelijk niet beschikken over gedetailleerde
zwaartekrachtinformatie voor de gehele aarde. Daarom
Fig. 4. Bijdragen aan de geoïdehoogte.
250
NGT GEODESIA 86
