lA~k\
4
Z
^xkJ
u J
Azk - Azs zlwk - zlws i (zk - zs) 0 (2)
l* Ys
Au,,
lAv
4 0
-r Is A <?r - ZS)
AZ„ - ZlZo xJw, - zlwc
4 1+ coscpsk
(9)
\A)U
^ys|
■E)
^ys
vil
In fig. 1 hebben een uv-stelsel en een PQ-stelsel de pun
ten R/r en S/s gemeenschappelijk. De punten in het PQ-
stelsel worden met hoofdletters aangeduid, de punten in
het uv-stelsel met kleine letters. Na de transformatie
liggen de coördinaten van het punt r op de lijn SR en zijn
de coördinaten van s' en S hetzelfde.
Omdat de rotatie van een vector over een hoek 0 kan
worden geschreven als de vermenigvuldiging van een
complex getal met het complexe getal (cosö i sin0)
of e'ö kan de relatie die als gevolg van de hiervoor ge
noemde translatie en rotatie ontstaat, voor alle punten k
in het uv-stelsel worden geschreven als:
?k - ?s K - ws> e'ö (1)
met w v i u; u en v zijn coördinaten in het uv-stelsel
en met z y i x; x en y zijn coördinaten in het PQ-
stelsel.
Fig. 1. Gelijkvormigheidstransformatie met translatie en rotatie.
De stochastische grootheden zijn onderstreept. Bena
derde waarden worden door niet-onderstreepte groot
heden aangegeven. Na een transformatie volgens (1)
ontstaat in het punt R/r' dat in beide stelsels voorkomt,
een sluitterm, omdat zr, als transformatie van wr niet
gelijk is aan de zR die gegeven is. Door middel van ver
effening kan deze sluitterm nul worden gemaakt. Het
zelfde geldt ook voor de sluittermen in eventuele andere
gemeenschappelijke punten van de beide stelsels.
Voor de vereffening is het nodig, dat de covariantie-
matrices van de beide stelsels tot één covariantiematrix
worden gecombineerd. Hiertoe wordt formule (1) door
middel van reeksontwikkeling omgezet in een vergelij
king tussen differenties van de coördinaten waarbij de
tweede en hogere orde termen worden weggelaten; de
benaderde waarden van de coördinaten worden in beide
stelsels gelijk genomen (w z). De benaderde waarde
van 0 is nul. Uit formule (1) volgt dan:
Met zk - zs 4 (coscpsk i sincpsk) kan formule (2)
worden uitgesplitst in een reëel en imaginair deel. 4 's
de lengte berekend uit de benaderde waarden van de
coördinaten van de punten s en k; cpsk is het argument
berekend uit deze waarden. In matrixvorm geschreven
wordt dit:
k
lx
zlvL
\Aus
(3)
sincpsk|
cosqpSk)
Uit formule (3) moet 0 nog worden geëlimineerd. Dit
gebeurt als volgt:
Na de transformatie volgens (1) ligt het punt r' op de lijn
SR.
Aldus geldt:
X is de verhouding tussen de lengten f en
Uit (1) volgt:
zr - zs (wr - ws) e'0
Combinatie van (4) en (5) geeft
RS
(4)
(5)
Iw,
W„
>10 -
X (zR - zj of
i0 /n X /n (zR - zs) - /n (wr - ws) (6)
0 is dus gelijk aan het imaginaire deel van vergelijking
(6). Omdat X reëel is, mag deze grootheid bij de verdere
afleiding buiten beschouwing worden gelaten. Voor de
berekening van 0 wordt (6) in een reeks ontwikkeld,
waarbij tweede en hogere orde termen worden weggela
ten.
Omdat de benaderde waarden van de coördinaten van
de punten R/r en S/s in beide stelsels gelijk zijn, volgt
uit (6) dat 0 gelijk is aan het imaginaire deel van:
z£-r-s
z z z z
r s r *-s
Met zr - zs 4 (cos cpsr i sin cpsr) kan van formule
(7) het imaginaire deel worden bepaald en als volgt wor
den uitgeschreven in matrixvorm:
A\jr A\js
^Ur ^Us,
Na invulling van 0 conform formule (8) in formule (3)
en met
1 lAWf, - /fVq
0 r-(-sincpsrcos(psr) (4-r_„-s_
(8)
<Arsk>
Sm <Psk
- sincpsr cosq)sr)
sin cpsk sincpsr -sin cpsk cosqps
- cos cpsk sin cpsr coscpsk coscpSi
wordt de relatie tussen de differenties van de coördina
ten:
<Arsk)
I^Yr - Ays - A\j, Avs
|zlxR - <dxs - zlur zlus
(10)
of met (E)
MVk
Ulx^
(E -A
rsk
rsk
Zlyk
zluk
AYs
Au,
(A„
E-A
rsk'
^yR
^"Xr
ZlXc
(11)
Met behulp van formule (11) kan de covariantiematrix
van twee punten k en /uit het uv-stelsel na een transfor
matie volgens (1) worden berekend. Daarbij mag wor
den verondersteld, dat de niet-getransformeerde coördi
naten in het uv-stelsel niet correleren met de coördina
ten van de punten in het PQ-stelsel. De coördinaten van
de beide stelsels zijn immers uit verschillende meetpro
cessen bepaald. Bij de berekening van de covariantie
matrix kan derhalve de voortplantingswet op beide
termen van (11) apart worden toegepast.
Met (V-)
(PQ)
V,
Vj
xj
xi
en (Vjj)
(uv)
vi
Uj
NGT GEODESIA 86
243
