h
I
I I
a
-=4=
68,2
In de landmeetkunde is het echter geen gewoonte zo
veel waarnemingen te doen voor het bepalen van één af
stand. Dat is economisch niet verantwoord en het is ook
niet nodig, want als eenmaal een experiment met veel
waarnemingen achter de rug is, kan voortaan een uit
spraak worden gedaan over de precisie van een afstand,
die onder dezelfde omstandigheden maar dan slechts
éénmaal is gemeten. Daartoe moet dan het histogram
dat is verkregen bij het experiment, nog eens worden
geraadpleegd. Hierin is namelijk de kans af te lezen,
dat een enkele waarneming in een bepaalde klasse zal
vallen.
In het voorbeeld is bijvoorbeeld de kans, dat de enkele
waarneming van die lengte valt in de klasse waarin ook
het gemiddelde van alle waarnemingen valt, 34%, want
in het experiment is de relatieve frequentie van de klasse
288,118 - 288,123 0,34 ofwel 34 van de 100 gevallen.
Deze beschouwingen gelden ook voor een andere basis
behandeling in de landmeetkunde, namelijk de hoek
metingen.
Fig5.
Van de Gausskromme zijn de volgende eigenschappen
belangrijk voor het vervolg:
- Van de oppervlakte tussen kromme en as ligt 68,2%
tussen de waarden a en - er.
3. Normale verdeling
Het werken met de histogrammen bevredigt niet, omdat
ze wiskundig gezien niet zo grijpbaar zijn. Gelukkig be
staat in de wiskunde een functie, die de vorm van het
histogram goed benadert: de normale waarschijnlijk
heidsverdeling van Gauss-Laplace, dikwijls de normale
verdeling genoemd. De waarnemingen in de landmeet
kunde passen uitstekend hierin.
De kromme is gegeven door de plaats van het midden en
door zijn breedte gemeten vanuit het midden naar het
buigpunt (waar hol in bol overgaat). Deze breedte is de
standaardafwijking. In de literatuur wordt de standaard
afwijking aangeduid met de Griekse letter sigma a. In
fig. 4 is de normale verdeling weergegeven.
Van de oppervlakte tussen kromme en as ligt 95,4%
tussen de waarden 2 a en - 2 a.
95,4
2 a5
Fig. 7.
Op een manier, die in de mathematische statistiek is ont
wikkeld, wordt uit de gedane waarnemingen de stan
daardafwijking van de bijbehorende Gausskromme bere
kend. Zo blijkt in het voorbeeld van de 50 maal gemeten
afstand de standaardafwijking 5,65 mm te zijn. Als men
nu in de kromme met standaardafwijking 5,65 mm de
zelfde klassegrenzen aanbrengt als in het histogram en
de oppervlaktes berekent van de dan ontstane kolom
men, blijken deze wonderlijk goed te kloppen met de
vroeger berekende relatieve frequenties van de waar
nemingen. In fig. 5 is over het eerder gegeven histogram
de bijbehorende Gausskromme getekend. De Gauss
kromme geeft de mogelijkheid van normaal verdeelde
waarnemingen (bijvoorbeeld lengtes en hoeken) de kan
sen op de te verwachten verschillen te berekenen.
(N.B. Er zijn ook waarnemingsprocessen, die geen nor
male verdeling vertonen, maar een andere verdeling.)
- Van de oppervlakte tussen kromme en as ligt 99,7%
tussen de waarden 3 a en - 3 a.
99,7
Een praktische uitwerking hiervan: de eenmaal geme
ten afstand uit het voorbeeld maakt een kans van
68,2% te liggen binnen en - a van ,,de afstand"
die, indien mogelijk, zou kunnen worden bepaald met
NGT GEODESIA 86
427
