Voorwaardevergelïjkingen in ruimtelijke
trilateraties
ui f3) u3r (Y3r
door dr. ir. C. M. A. van den Hout, gepensioneerd medewerker van het ITC te
Enschede.
SUMMARY
Condition equations in spatial trilaterations
The observation equations and corresponding degrees of freedom for spatial trilaterations are well-
known. The less-known condition equations are once more derived in this article.
Inleiding
Met behulp van elektronische instrumenten kunnen
tegenwoordig zeer gemakkelijk en ook zeer nauwkeurig
afstanden worden gemeten. Dit maakt het mogelijk
ruimtelijke driehoeksnetten te ontwerpen, waarin alleen
maar zijdelengten behoeven te worden gemeten (trilate-
ratie).
De berekening van een trilateratie is gebaseerd op de be
trekking
(1)
(X.
X.)
3
(Y.
Y.) (Z.
3 l
2 2
z.r (i.
d i#:
waarin Xi; Yi( en Xj, Yj( Zj de Cartesiaanse coördina
ten zijn van de eindpunten i en j van een zijde van een
willekeurige driehoek uit het net, en lu de afstand is tus
sen deze punten.
Indien overtallige afstanden zijn gemeten, kan een veref
fening worden uitgevoerd volgens het tweede stan
daardvraagstuk.
Uitgaande van vijf punten (fig. 1) die viervlakken vor
men, waarvan alle zijdelengten zijn gemeten, wordt een
stelsel betrekkingen van het type (1) gevormd. Vervol
gens worden de coördinaten van de hoekpunten geëlimi
neerd. Het resultaat levert een betrekking op, waarin
alleen maar zijdelengten voorkomen. Deze betrekking
maakt het nu daadwerkelijk mogelijk om een trilateratie
te vereffenen volgens het eerste standaardvraagstuk.
Deze betrekking wordt vervolgens afgeleid, zie ook
[Aardoom, 1970],
Fig. 1. Drie viervlakken: (t, 2, 3, 4), (1, 2, 3, 51 en 11, 2, 4, 5).
De redenering geldt ook als niet van dit speciale coördinaten
stelsel gebruik wordt gemaakt; de afleiding wordt er wel door
vereenvoudigd.
Drie viervlakken
In fig. 1 zijn vijf hoekpunten van een driedimensionaal
driehoeksnet getekend; de punten 4 en 5 liggen niet in
het vlak van tekening. Deze punten vormen een aantal
viervlakken. Wij beschouwen de viervlakken die zijn ge
vormd door de punten (1, 2, 3, 4), de punten (1, 2, 3, 5)
en de punten (1, 2, 4, 5).
We introduceren een Cartesiaans assenstelsel X, Y, Z en
laten het X, Y-vlak samenvallen met het vlak door de
punten 1, 2, 3, verder de X-as met de zijde 1, 2 en ten
slotte de oorsprong met het hoekpunt 1 De hoek in
het punt 1, die wordt ingesloten door de zijden naar de
punten 2 en 3, duiden we aan met y23 of y32en de
hoek die wordt ingesloten door de A2 3 en de A2 4 met
„1.2,3
"1,2,4
De onderlinge ligging van de punten 1, 2 en 3 is volledig
bepaald door de zijdelengten l12, l13 en l23. Ten op
zichte van deze punten is de ligging van het punt 4 be
paald door 1,4, l24 en l34 en die van het punt 5 door 1,5,
l25 en l35. De afstand tussen de punten 4 en 5 wordt nu
door deze negen zijdelengten bepaald. Een voorwaarde
is nu, dat de (door berekening bepaalde) afstand tussen
de punten 4 en 5 gelijk moet zijn aan de (gemeten) zijde
lengte l46. Deze voorwaarde noemen we trilateratie-
voorwaarde.
Passen we de cosinusregel toe in zl, 3 4 dan is
(13,4)2 11312 (11,4)2 "2 11,3 Ll,4 COS Y3,4
Nu is volgens (1) en fig. 1
(13,4)2= <X3 -X4)2+ (Y3 -V2
2 2
cl (x.r
1,4 4
(Y4)2 (Z4)2
2 2 2
zodat volgens (2b, c, d) en gelet op (2a)
(13,4)2 (11,3>2 (11,4>2 "2 V3 2 X4Y4
zodat uit (2a) en (2e) volgt
X.X^ Y Y 1, .1 cos Y-j
3 4 3 4 1,3 1,4 '3,4
Verder is
X3 X1,3 COS Y2,3
X4 Ll,4 COS Y24
Y3 113 Sln Y23
1 1,2,3
1,4 Sln Y24 COS °1,2,4
(2a)
(2b)
(2c)
(2d)
(2e)
(3a)
(3b)
(3c)
(3d)
(3e)
56
NGT GEODESIA 87
