h, u, J<3)
Vé (k, 2 k;
AX M Acp
AY N cos tp AA
e"
behulp van de methode Runge-Kutta. Deze is als volgt
gedefinieerd:
h stapgrootte
U; numerieke oplossing integraal
t; (t0 n-h) onafhankelijke variabele
h f (tj( Uj)
h f (tj 1/2 h, u; 1/2 k,)
h f (t; V2 h, U| V2 j<2>
h - f (t:
*1
JS2
kj
Ui i Mi
J<2 2 k3 J<4>
Dit is de Simpson benadering van de integraal
;x t, h
f(x) dx.
x tj
Bij voldoend kleine stapgrootte levert sommatie over de
index ,,i" de numerieke benadering.
Het programma berekent de integraal met een maximum
stapgrootte van 50 km. De stapgrootte wordt daarna ge
halveerd, totdat twee opvolgende iteratieslagen minder
dan een zeker criterium t (bijvoorbeeld 0,01 mm) af
wijken. Indien dit na negen iteraties nog niet is bereikt,
wordt het programma afgebroken.
Uit het verschil tussen de bekende en de nu berekende
coördinaten van het eindpunt wordt een toeslag op het
benaderde azimut bepaald, waarna Runge-Kutta op
nieuw wordt toegepast, totdat het verschil van de coör
dinaten aan het precisiecriterium voldoet; ook dit vindt
maximaal negenmaal plaats.
Correctievergelijkingen ellipsoïdische
waarnemingen
Reeds in de dertiger jaren zijn de correctievergelijkingen
voor het tweede standaardvraagstuk afgeleid [Ölander,
1935], waarbij als waarnemingsgrootheden richtingen in
boogseconden en logaritmen van afstanden in meters
worden gebruikt. Wanneer nu voor de coördinaatonbe
kenden de grootheden AX en AY worden gekozen, die
gedefinieerd zijn als (M en N zijn de 1e en 2e hoofd
kromtestraal van de ellipsoïde):
Q"
vindt men de volgende (gelineariseerde) correctieverge
lijkingen, met Op en AP als respectievelijk de oriënte-
rings- en schaalonbekende voor punt P:
Rich tings me ting:
d rpo
j sin APQ AXp cos ApQ AYp -l- sin AqP AXq
SpQ l
cos Aqp AYq
- 1-AOp
Afstandmeting:
d In SPq
I cos ApQ AXP sin APq AYp cos AqP AXq
SpQ l 1
sin Aqp AYq1 Aln Ap
De correctievergelijking voor geodetische azimuts is ge
lijk aan die voor richtingsmeting, alleen dient aan de
gemeten astronomische azimuts nog de zgn. Laplace-
correctie te worden aangebracht.
Men ziet hier onmiddelijk de gelijkenis tussen de formu
les voor richtingsmeting en afstandmeting, die ook be
kend is uit prof. Baarda's complexe getallentheorie voor
het platte vlak.
Afsluiting
Doordat de invoermodule van ASTRID zelf het aantal
waarnemingen en onbekenden telt, is weinig sturingsin-
voer nodig en is ASTRID derhalve redelijk gebruikers
vriendelijk.
Tabel 1 geeft een overzicht van de ellipsoïden die
momenteel binnen ASTRID als rekenmodel kunnen wor
den gekozen. Ten aanzien van de coëfficiënten van de
correctievergelijkingen dient nog wel te worden opge
merkt, dat deze uiteraard door linearisering tot stand zijn
gekomen en dat het aanbeveling verdient bij een gemid
delde zijdelengte van boven de 50 km het tweede orde
effect niet te verwaarlozen. In de volgende release van
ASTRID zal dit tweede orde effect dan ook worden aan
gebracht, alhoewel dit voor de Nederlandse situatie niet
van belang is.
Dit mag ook blijken uit een vergelijking met het volledig
onafhankelijk ontwikkelde programma van het Deut-
sches Geodatisches Forschungs Institut (DGFI) te Mün-
chen [Ehrnsperger, 1982], waarbij bleek dat de vereffen
de coördinaten voor het primaire net van Nederland, zo
als berekend door beide programma's, maximaal 0,4 mm
afwijken. Deze afwijking is het gevolg van bovenge
noemd tweede orde effect en het feit dat DGFI voor het
tweede hoofdvraagstuk niet numeriek integreert, maar
benaderde gesloten formules gebruikt.
NR
NAAM
HALVE LANGE AS
AFPLATTING
1
AIRY
6377563.396
299.3249646
2
AUSTRALIAN NATIONAL
6378160.0
298.25
3
BESSEL
6377397.155
299.1528128
4
CLARKE 1858
6378293.645
294.26
5
CLARKE 1866
6378206.4
294.9786982
6
CLARKE 1880
6378249.145
293.465
7
DANISH
6377104.43
300.0
8
EVEREST
6377276.345
300.8017
9
FISCHER 1960 (MERCURY)
6378166.0
298.3
10
FISCHER 1960 (SOUTH ASIA)
6378155.0
298.3
11
FISCHER 1968
6378150.0
298.3
12
HELMERT
6378200.0
298.3
13
HOUGH
6378270.0
297.0
14
INTERNATIONAL (HAYFORD)
6378388.0
297.0
15
NWL-9D
6378145.0
298.25
16
SOUTH AMERICAN 1969
6378160.0
298.25
17
STRUVE
6378298.3
292.73
18
WGS-66
6378145.0
298.25
19
WGS-72
6378135.0
298.26
20
GRS-80
6378137.0
298.257222
21
WGS-84
6378137.0
298.2572236
Tabel 1. Binnen ASTRID te gebruiken ellipsoïden.
Zoals in de inleiding gesteld, kent ASTRID naast boven
staande „vrije" netvereffening ook de mogelijkheid een
buffermatrix te produceren; dit kan geschieden door het
opgeven van een aantal onbekenden die in de buffer-
140
NGT GEODESIA 87
