H-GK)
§i
van de onderscheiden coördinaten, zoals die door het
systeem zijn berekend of door de gebruiker zijn opge
geven. In de vereffening is de covariantiematrix daarom
geen eenheidsmatrix en kunnen de correctievergelij
kingen in het tweede standaardvraagstuk niet lineair
worden gehouden.
Voor de gelineariseerde vergelijkingen zijn benaderde
waarden van de transformatieparameters nodig. Deze
worden verkregen door een overbepaalde gelijkvormig
heidstransformatie uit te voeren met een covariantie
matrix die een eenheidsmatrix is.
Voor de puntobjecten zijn de correctievergelijkingen bij
deze benaderde transformatie lineair. Het zijn de beken
de formules van de overbepaalde gelijkvormigheids
transformatie, zoals die bijvoorbeeld in de [HTW 1956,
p. 104], zijn vermeld. Ook voor lijnobjecten blijken de
correctievergelijkingen bij de benaderde transformatie
lineair te kunnen worden gehouden. In de eigenlijke ver
effening, waar de covariantiematrix niet een eenheids
matrix is, voert het systeem iteraties uit voor zover dat
nodig is. Het probeert zo veel mogelijk zelf eventuele
fouten te verwijderen op grond van globale toetsingen
en op grond van berekende w-grootheden. Na het uit
voeren van de toets op de lokale precisie kan het
systeem, als dat gewenst is, ook nog een toets op de
absolute precisie uitvoeren. Dat wordt gedaan door de
ingevoerde veldcoördinaten en kaartcoördinaten recht
streeks met elkaar te vergelijken en een F-toets uit te
voeren.
d. Opslag
De ingevoerde coördinaten en algemene gegevens wor-
De aansluiting bestaat uit het bepalen van de benaderde waar
den en het daarna uitvoeren van de eigenlijke vereffening.
Op grond van formules, die door ir. L. Schipper in 1981 zijn af
geleid, is het volgende vereffeningsmodel (tweede standaard
vraagstuk) opgesteld:
A coëfficiëntenmatrix
y parametervector
x vector van waarnemingen
e vector van correcties
De matrix A en de vectoren x en e zijn onderverdeeld in een
deel voor de puntobjecten (p) en een deel voor de lijnobjecten
(I).
De theorie van de kleinste kwadratenvereffening is beschreven
in [Mikhail, 1976], Hier is echter zo veel mogelijk de notatiewijze
van de TU Delft gehanteerd [POM, 1986, deel II, paragraaf 61.
Onderstreepte variabelen zijn daarbij stochastische grootheden.
Voor het bepalen van de benaderde waarden van de transfor
matieparameters zijn de matrix A en de vectoren y en x als
volgt ingevuld:
Api
Mj, Y|, 1. 0
Api+1
-Vj, Uj, 0, 1
A'i1
Uj (y1j-y2j) - Vj (xlj x2j) Sj
J/ 1
Al
i,2
- Vj (ylj y2j) Uj (x1j-x2j) Sj
Al
j.3
ylj y2j Sj
Ai
(xlj x2; Sj
1.4
J 1 -J
(*lj-><2j)2 <Ylj-y2j)2
*Pi
Xj
"Pi 1
Yj
-'j
- xlj y2j x2j ylj §j
y
p, q, c-|, c2
Hierbij geldt:
i 2k - 1 1 k n i, n, k c N
1 j m j, m t N
n geeft het aantal puntobjecten en m geeft het aantal lijn
objecten.
Uj Vj zijn de x- en y-veldcoördinaat van het i-de puntobject.
Xj Vj zijn de x- en y-kaartcoördinaat van het i-de puntobject.
Uj Vj zijn de x- en y-veldcoördinaat van het j-de lijnobject.
*lj - Ylj*2j y2j zijn de kaartcoördinaten van de beide punten
die samen het lijnobject vormen.
§j is de afstand tussen de beide punten van het lijnobject op de
kaart.
p, q, c-| en zijn de vier transformatieparameters van de
gelijkvormigheidstransformatie.
Dat dit model niet geschikt is voor de eigenlijke vereffening,
blijkt uit het feit, dat de coëfficiënten in de matrix A stochasti
sche grootheden zijn. Het model kan geen rekening houden
met de covariantiematrix van deze stochastische grootheden.
De oplossing met behulp van de kleinste kwadraten van dit
model levert de benaderde parameters p, q, c-| en op:
y AlA 1 Al x
In de eigenlijke vereffening wordt de lengte-eenheid bekend
verondersteld en worden alleen een translatie (de parameters
c-] en C2> en een rotatie (de parameter co) geschat.
In het gelineariseerde vereffeningsmodel worden de differentië
le parameters rik^, dc^ en geschat. Als benaderde waarden
van de eigenlijke parameters worden gebruikt:
C1 <=1
c2 c2
co arctan (-q/p) kn;k 0 1A 2 A
Omdat de lengte-eenheid bekend wordt verondersteld, is A 1.
Als uit de bepaling van de benaderde waarden is gebleken, dat
A sterk van één afwijkt, wordt voor A die waarde genomen.
Voor het uitvoeren van de eigenlijke vereffening zijn de matrix
A en de vectoren y en x als volgt ingevuld:
Ap 1, 0, - AUj sin co Avj cos co
A„ 0, 1, - Au; cos co - Av; sin co
Pi 1 1
Aijj vij-v2j sj
Ai - x1j-x2: Sj
j,2 1 J 1
A|. - Auj sin co Avj cos co) (ylj - y2j)
(Auj cos co Avj sin co) (x1j - x2j) Sj
Sj (x1j-x2j)2 (y1j-y2j)2
Y dct dc2
De elementen van de vector x zijn in dit vereffeningsmodel
precies het tegengestelde van de elementen in de vector e,
die in het model van de benaderde aansluiting wordt bere
kend.
Als covariantiematrix wordt een diagonaalmatrix gebruikt. Op
elk hoofddiagonaalelement staat de variantie van het betreffen
de punt- of lijnobject, zoals die door het systeem is berekend of
door de gebruiker is opgegeven.
De oplossing met behulp van de kleinste kwadraten van dit
model levert de parameters dc^, dC2 en dco op.
y AlG~1A )~1 A'G-1^
G is de covariantiematrix van x.
De toetsing vindt plaats met behulp van de elementen van de
vector e die wordt berekend uit:
e A y - x
134
Het vereffeningsmodel.
NGT GEODESIA 87
