Over het aansluiten van puntenvelden (1):
Het rangdefecte lineaire tweede standaardvraagstuk
(1) Via S-transformatie
Naar analogie van de huidige aansluitingsprocedure bij
netwerken (zoals bijvoorbeeld geïmplementeerd in de
vereffeningsprogrammatuur SCAN-2) wordt met behulp
van een van tevoren uit te voeren S-transformatie voor
gezorgd, dat beide puntenvelden in een zelfde schran-
kingsstelsel zijn gedefinieerd. Het schrankingsstelsel
wordt dus in het veld van de aansluitpunten gelegd,
waarbij twee van de aansluitpunten de schrankingsbasis
vormen. De covariantiematrix van de coördinaten van de
overige aansluitpunten is dan regulier en inverteerbaar.
Voor deze aansluitpunten vereenvoudigt het algemene
aansluitingsmodel zich dan tot:
coördinaatverschillen 0
De eerder genoemde additionele parameters komen niet
voor in het model, maar worden via speciale alternatieve
hypothesen op hun significantie getoetst.
Deze methode kan voor de kringnettenaansluiting als
„standaardmethode" worden aangemerkt. De methode
is zeer doorzichtig vanwege de eenvoud van het mathe
matische model en ook omdat het de problematiek van
de coördinaatdefinitie welke de singulariteit in de co-
variantiematrices veroorzaakt van de feitelijke aanslui
tingsberekeningen afsplitst. De methode kent echter
ook een aantal praktische nadelen:
veelal is vooraf een GVH-transformatie of S-transfor
matie van de coördinaten en hun covariantiematrices
nodig;
de covariantiematrices zijn altijd in een schrankings
stelsel gedefinieerd. Hierdoor wordt bijvoorbeeld een
eenvoudige diagonaalmatrix voor de ongeschrankte
covariantiematrix van de coördinaten (denk hierbij
bijvoorbeeld aan gedigitaliseerde coördinaten) na
schranking een volle matrix;
de oplossing van de aansluitingsvereffening wordt al
tijd verkregen in het vooraf gedefinieerde lokale
schrankingsstelsel, zodat vaak na aansluiting nog
een na-transformatie van alle berekende coördinaten
en hun covariantiematrices nodig is.
(2) Via aanname reguliere covariantiematrix
De tweede oplossingsmethode maakt gebruik van het al
gemene aansluitingsmodel, maar gaat ervan uit dat de
covariantiematrices van de coördinaten regulier zijn. Zo
wordt bijvoorbeeld in het blokvereffeningsprogramma
FOTEF aangenomen, dat alle covariantiematrices van de
coördinaten regulier zijn (in casu diagonaalmatrices).
Een dergelijke aanname is te verdedigen voor fotogram-
metrische model- of fotocoördinaten en gedigitaliseerde
coördinaten, maar is echter niet algemeen geldig.
Bovendien levert een dergelijke aansluitingsmethode
„absolute" coördinaten, waardoor precisie en betrouw
baarheid niet zonder meer interpreteerbaar zijn; in feite
is er nog een transformatie of reductie nodig om de in
vloed van de (niet-operationele) coördinaatdefinitie op
de precisie- en betrouwbaarheidsresultaten te elimi
neren.
Om de bezwaren tegen beide methoden te ondervan
gen, is een algemene oplossingsmethode van het aan
sluitingsmodel gewenst, waarbij singulariteiten worden
geaccepteerd en adequaat verwerkt. Gezien de formule
ring van het aansluitingsmodel ligt een oplossing via het
tweede standaardvraagstuk voor de hand. De oplossing
via het eerste standaardvraagstuk zou overigens (via de
eliminatie van de onbekenden om tot voorwaardeverge-
lijkingen te komen) uitmonden in de onder 1. genoemde
methode.
In het voorliggende eerste artikel van de reeks, getiteld
„Het rangdefecte lineaire tweede standaardvraagstuk",
worden de consequenties van een rangdefecte design-
matrix besproken. Daarbij zal de relatie worden gelegd
met de vereffening van een zgn. vrij netwerk en de theo
rie van de S-transformatie.
In het tweede artikel wordt een algemene methode voor
de aansluiting van puntenvelden gegeven. Hierbij wordt
in het bijzonder aandacht geschonken aan de behande
ling van eventuele singulariteiten in de covariantiematri
ces van de coördinaten. De oplossingsmethoden 1en 2.
worden als bijzondere gevallen afgeleid.
Het derde artikel zal gaan over de precisie- en betrouw
baarheidsbeschrijving van de aansluitingsvereffening.
In het vierde en laatste artikel zullen voor de verschillen
de toepassingen praktische voorbeelden worden uitge
werkt, waarbij (met enige vereenvoudigingen in het
kansmodel) veelal analytische oplossingen kunnen wor
den gegeven.
door dr. ir. P. J. G. Teunissen, ir. M. A. Salzmann en ir. H. M. de Heus, Faculteit der
Geodesie van de Technische Universiteit Delft.
SUMMARY
The rankdeficient linear second Standard problem
In this article the consequences of a rankdeficiency in the designmatrix of a linear second standard
problem are discussed. The solution space of the linear least-squares estimators of the rankdeficient
linear model is characterized through the use of weighted minimum constraints. It is shown that in case
of infinitely weighted minimum constraints the linear least-squares estimators become minimum variance
linear unbiased estimators of the S-transformed unknown parameters. Also the relation with free net
work adjustments is shown. No explicit use is made of the theory of generalized inverses.
1. Inleiding
In de geodesie wordt het (lineaire) tweede standaard
vraagstuk o.a. gebruikt bij het vereffenen van netwerken
en het aansluiten van puntenvelden. Bij de zgn. vrije net
werken kunnen uit het waarnemingsmateriaal de (hori
zontale/verticale) positie, oriëntatie en schaal van het
netwerk niet worden bepaald. In zo'n geval is de design
matrix van het lineaire tweede standaardvraagstuk rang-
182
NGT GEODESIA 87
