(A^Qy1 AfVQyV
defect. Er is dan extra informatie nodig (bijvoorbeeld in
de vorm van condities tussen de onbekenden) om dit
rangdefect op te heffen.
Bij de vereffening van vrije netwerken is het gebruikelijk
vooraf een S-stelsel te definiëren (bijvoorbeeld door het
kiezen van twee basispunten in een triangulatienetwerk)
en daarmee het rangdefect te elimineren.
In dit artikel zal de algemenere benadering van een rang
defect lineair model met (gewogen) minimum condities
worden gevolgd. Uitgaande van het kleinste kwadraten
criterium zullen de eigenschappen van de schatters in
zowel het rangdefecte als niet-rangdefecte geval worden
afgeleid. Het verband tussen de theorie van de S-trans-
formaties en het door ons behandelde lineaire model met
(gewogen) minimum condities zal worden afgeleid. Het
voordeel van de in dit artikel gevolgde meer algemene
benadering is, dat we in de vervolgartikelen over de aan
sluiting van puntenvelden tot flexibeler oplossingsme
thoden kunnen komen.
2. Notatie en enkele begrippen
In het kort wordt een overzicht gegeven van de in de
tekst gebruikte begrippen en zal de gekozen notatie
worden toegelicht. Voor meer details wordt verwezen
naar de appendix in [1]*) of naar het lineaire algebraboek
[2],
Matrices worden met hoofdletters, vectoren met klei
ne letters geschreven.
A* is de getransponeerde van matrix A.
Een mxn matrix heeft m rijen en n kolommen.
IRm staat voor de m-dimensionale Euclidische vec
torruimte.
De rang rA van een matrix A is per definitie gelijk aan
het aantal lineair onafhankelijke kolommen van A.
Een basismatrix is een matrix waarvan de kolommen
lineair onafhankelijk zijn.
De lineaire ruimte opgespannen door de kolommen
van een mxn matrix A noteren we als R(A). In for
mulevorm:
R(A) {y e IRm I y Ax, x e IRn
Deze ruimte wordt de kolomruimte of rangespace
van A genoemd.
Een matrix B heet een basismatrix van een lineaire
ruimte U, indien B een basismatrix is en R(B) U.
Een basismatrix waarvan de kolommen loodrecht
staan op de kolommen van een basismatrix B, note
ren we als B1. Dus Bi*B 0.
Als B een pxq basismatrix is, dan is B1 een px (q - p)
basismatrix. Dus matrix (B B1) is vierkant en regu
lier (van volle rang).
We reserveren de hoofdletter V voor een basismatrix
van R(A*). Dus R(V) R(A*).
De vectoren x welke loodrecht staan op de kolom
vectoren van de nxm matrix A* (dus x*A* 0 of
Ax 0) spannen een lineaire ruimte op, welke de nul
ruimte van A wordt genoemd. Deze ruimte noteren
we als NA)In formulevorm:
N(A) {x e |Rn I Ax 0
Volgens afspraak noteren we een basismatrix van
N(A) als VA Dus is R(V-i) N(A), R(V) R(A*) en
V-L*V 0.
Notatie: A per definitie, V voor alle; einde bewijs.
De nummers [1] t.m. [6] verwijzen naar „Literatuur" op p. 188
aan het eind van dit artikel.
NGT GEODESIA 87
3. Lineaire Kleinste Kwadraten (LKK) schatter
Beschouw het lineaire tweede standaardvraagstuk
(1)
E (y)
A x
Qv
mxl
mxn nxl
mxm
waarbij
E de verwachtingsoperator
y de stochastische m-vector van waarnemings
grootheden
A de mxn designmatrix met m>n
x de n-vector van onbekende parameters
Qy de mxm positief definiete covariantiematrix van y
Definieer nu de functie F(x) als:
(2) F(x) a (y-Ax)*Qy1(y-Ax)
Dus F(x) is de gewogen som van de kwadraten van de
residuen.
Dan is per definitie iedere x welke voldoet aan
(3) FxF(X) V x e |Rn ofwel F(x) is minimaal,
een LKK-schatter van x.
STELLING I
(4) F(x) F{*)
Bewijs:
V x IRn A*Q"1AX A*Q V
y y
Een Taylorontwikkeling van F(x) ten opzichte van x0 geeft:
(5)
F(x) F(Xq) 3/(xn)ax JAx 3yïF(xn)Ax,
waarbij
a) Ax x - Xg
(6) b) 3xF(x0) 2(y-Ax0)*Q"'A
O 4f(x0) za'q^a
Daar de matrix dJxF(x0) positief (semi-)definiet is, zie (6.c), geldt:
(7) Ax*3xxF(x0)Ax >0, V x IRn
Met (5) geeft dit:
(8) F(x) F(x0) 3xF(x0)Ax, V x IRn.
(-*1 Gegeven is dat F(x) Fix), V x6 IR". Met (8) betekent dit dat
(9) axF(x)(x - x) 0, v x e lRn
moet gelden. Dit betekent weer dat d„F(x) =0. Met (6.b) volgt dan
dat
(10) A*Q~1Ax A*Q-V
(•«-) Gegeven is dat A'Q^'Ax A*Qy~' y. Met (6.b) volgt dan dat
d„F(x) 0 en met (8) toont dit dat
dl)
F(x) F(A), V I E IRn
Stelling I leert ons dat, indien we een LKK-schatter x van
x willen berekenen, we het lineaire stelsel normaalverge
lijkingen
(12)
.1 -1
A QyAA* A Qy y
moeten oplossen. We kunnen twee gevallen onderschei
den:
a. De rang rA van matrix A is gelijk aan n: rA n
In dit geval levert het oplossen van (12) geen problemen
op. Immers als A volle rang heeft, dan heeft ook de nor-
maalmatrix A*Qy 1A volle rang en is deze matrix inver-
teerbaar. Met andere woorden, als A volle rang heeft,
dan wordt de unieke LKK-schatter x van x gegeven door
(13)
b. De rang rA van matrix A is kleiner dan n: rA n
Nu is niet direct duidelijk hoe we (12) kunnen oplossen.
183
